高等数学

第一章 函数与极限

所谓函数关系就是变量之间的依赖关系，极限方法是研究变量的一种基本方法.

映射

定义

设 \(X\)、\(Y\) 是两个非空集合，如果存在一个法则 \(f\)，使得对 \(X\) 中的每个元素 \(x\)，按法则 \(f\)，在 \(Y\) 中有唯一确定的元素 \(y\) 与之对应，那么称 \(f\) 为从 \(X\) 到 \(Y\) 的映射，计作

\[ f:X \to Y \]

其中 \(y\) 称为元素 \(x\)（在映射 \(f\) 下）的像，并计作 \(f(x)\)，即

\[ y=f(x) \]

而元素 \(x\) 称为元素 \(y\)（在映射 \(f\) 下）的一个原像；集合 \(X\) 称为映射 \(f\) 的定义域，计作 \(D_{f}\)，即 \(D_{f}=X；X\) 中所有元素的像组成的集合称为映射 \(f\) 的值域，计作 \(R_{f}\) 或 \(f(X)\)，即

\[ R_{f} = f(X) = \left\{ f(x) | x \in X \right\} \]

在上述映射的定义中，需要注意的是：

1. 构成一个映射必须具备以下三个要素：

   1. 集合 \(X\)，即定义域 \(D_{f}=X\)；
   2. 集合 \(Y\)，即值域的范围：\(R_{f} \subset Y\)；
   3. 对应法则 \(f\)，使对每个 \(x \in X\)，有唯一确定的 \(y = f(x)\) 与之对应.

2. 对每个 \(x \in X\)，元素 \(x\) 的像是唯一的；而对每个 \(y \in R_{f}\)，元素 \(y\) 的原像不一定是唯一的；映射 \(f\) 的值域 \(R_{f}\) 是 \(Y\) 的一个子集，即 \(R_{f} \subset Y\)，不一定 \(R_{f} = Y\).