《普林斯顿微积分读本（修订版）》学习笔记¶
第 1 章 函数、图像和直线¶
1.1 函数¶
函数是将一个对象转化为另一个对象的规则. 起始对象称为输入，来自称为定义域的集合. 返回对象称为输出，来自称为上域的集合.
一个函数必须给每一个有效的输入指定唯一的输出.
值域是所有可能的输出所组成的集合. 值域实际上是上域的一个子集. 上域是可能输出的集合，而值域则是实际输出的集合.
垂线检验：如果你有某个图像并想知道它是否是两数的图像，你就看看是否任何的垂线和图像相交多于一次. 如果是这样的话，那它就不是西数的图像；反之，如果没有条垂线和图像相交多手一次，那么你的确面对的是两数的图像.
1.2 反函数¶
任何数都只有一个实数立方根.
反函数的数学语言总结：
- 从一个函数 \(f\) 出发，使得对于在 \(f\) 值域中的任意 \(y\)，都只有唯一的 \(x\) 值满足 \(f(x)=y\)．也就是说，不同的输入对应不同的输出. 现在，我们就来定义反函数 \(f^{-1}\).
- \(f^{-1}\) 的定义域和 \(f\) 的值域相同.
- \(f^{-1}\) 的值域和 \(f\) 的定义域相同.
- \(f^{-1}(y)\) 的值就是满足 \(f(x)=y\) 的 \(x\). 所以，如果 \(f(x)=y\)，那么 \(f^{-1}(y)=x\)
水平线检验：如果每一条水平线和一个函数的图像相交至多一次，那么这个函数就有一个反函数．即使只有一条水平线和图像相交多于一次，这个函数也是没有反函数的.
反函数的反函数就是原始函数.
1.3 函数的复合¶
函数的乘积和函数的复合是不同的，且函数的复合与函数顺序有关系，而函数的乘积与函数顺序无关.
1.4 奇函数和偶函数¶
如果对 \(f\) 定义域里的所有 \(x\) 有 \(f(-x)=f(x)\)，则 \(f\) 是偶函数.
如果对 \(f\) 定义域里的所有 \(x\) 有 \(f(-x)=-f(x)\)，则 \(f\) 是奇函数.
一般而言，一个函数可能是奇的，可能是偶的，也可能非奇非偶，大多数函数是非奇非偶的.
另一方面，只有一个函数是既奇又偶的，它就是非常单调的对所有 \(x\) 都成立的 \(f(x)=0\)（我们称之为零函数）.
如果一个函数是奇的，并且 \(0\) 在其定义域内，则 \(f(0)=0\).
奇函数的图像关于原点有 180° 的点对称性.
两个奇函数之积是偶函数：
两偶函数之积仍为偶函数，奇函数和偶函数之积是奇函数.
1.5 线性函数的图像¶
点斜式方程：
如果已知直线通过点 \((x_{0},y_{0})\)，斜率为 \(m\)，则它的方程为 \(y-y_{0}=m(x-x_{0})\).
如果一条直线通过点 \((x_{1},y_{1})\) 和 \((x_{2},y_{2})\)，则它的斜率等于 \(\frac{(y_{2}-y_{1})}{(x_{2}-x_{1})}\).
1.6 常见函数及其图像¶
多项式¶
次数为 \(n\) 的多项式的数学通式为：
常见的 \(x^{n}\) 函数图像如下图所示：
一般的多项式的图像是很难画的.不过，多项式图像左右两端的走势倒是容易判断.这是由最高次数的项的系数决定的，该系数叫作首项系数. 实际上，只需考虑首项系数正负以及多项式次数的奇偶就能判断图像两端的走势.
二次函数的解¶
求根公式：
- \(\Delta > 0\)：有两个不同的解
- \(\Delta = 0\)：只有一个解
- \(\Delta < 0\)：在实数范围内无解
有理函数¶
形如 \(\frac{p(x)}{q(x)}\) ，其中，\(p\) 和 \(q\) 为多项式的函数，叫做有理函数. 最简单的有理函数是多项式本身.
指数函数和对数函数¶
三角函数¶
带有绝对值的函数¶
第 2 章 三角学回顾¶
2.1 基本知识¶
弧度和度的换算公式：\(用弧度度量的角= \frac{\pi}{180} \times 用度度量的角\)
三角函数基本公式：
正弦：
余弦：
正切：
倒数函数：
余割：
正割：
余切：
常用角的三角函数值：
| 0 | \(\frac{\pi}{6}\) | \(\frac{\pi}{4}\) | \(\frac{\pi}{3}\) | \(\frac{\pi}{2}\) | |
|---|---|---|---|---|---|
| sin | 0 | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | 1 |
| cos | 1 | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | 0 |
| tan | 0 | \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) | 1 | \(\sqrt{3}\) | 无定义 |
2.3 三角函数的图像¶
正弦、余弦和正切函数都是周期的. 这意味着，它们从左到右反复地重复自己.
与正弦函数和余弦函数不同，正切函数有垂直渐近线. 此外，它的周期是 \(\pi\). 图像的对称性表明，正切函数是 \(x\) 的奇函数.
六个基本三角函数的对称性的性质：\(sin(x)\)、\(tan(x)\)、\(cot(x)\)、\(csc(x)\) 都是 \(x\) 的奇函数. \(cos(x)\) 和 \(sec(x)\) 都是 \(x\) 的偶函数.
因此，对于所有的实数 \(x\)：
2.4 三角恒等式¶
毕达哥拉斯定理¶
这对于任意的 \(x\) 都成立.
变形：
一些函数的名字是以音节“cot”开头的，这是“互余”（complementary）的简称. 有以下一般关系：
甚至当三角函数名中已经带有一个“co”时，以上公式仍适用，只需要认识到，余角的余角就是原始的角.
涉及角的和与倍角公式¶
第 3 章 极限导论¶
3.1 极限：基本思想¶
这里的 \(x\) 只是一个虚拟变量. 它是一个暂时的标记，用来表示某个（在上述情况下）非常接近于 2 的量. 它可以被替换成其他任意字幕，只要替换是彻底的；同样，当你求出极限的值时，结果也不可能包含这个虚拟变量，所以对虚拟变量要灵活处理.
3.2 左极限与右极限¶
2 后的小减号表示该极限是一个左极限.
2 后的小加号表示该极限是一个右极限.
通常的双侧极限在 \(x=a\) 处存在，仅当左极限和右极限在 \(x=a\) 处都存在且相等！在这种情况下，这三个极限（双侧极限、左极限和右极限）都是一样的.
如果左极限和右极限不想等，那么双侧极限不存在，写作：
或使用缩写 “DNE” 表示 “不存在”.
3.3 何时不存在极限¶
垂直渐近线的正式定义
“\(f\) 在 \(x=a\) 处有一条垂直渐近线” 说的是，\(\lim_{x \to a^{+}} f(x)\) 和 \(\lim _{x \to a^{-}} f(x)\)，其中至少有一个极限是 \(\infty\) 或 \(-\infty\).
3.4 在 ∞ 和 -∞ 处的极限¶
当 \(x\) 很大的时候，\(f(x)\) 变得非常接近于值 \(L\)，并保持这种接近的状态.
当 \(x\) 变得越来越负（或者更确切地说，\(-x\) 变得越来越大）时，\(f(x)\) 会变得非常接近于值 \(L\)，并保持接近的状态.
“\(f\) 在 \(y=L\) 处有一条右侧水平渐近线” 意味着 \(\lim _{x \to \infty} f(x) = L\).
“\(f\) 在 \(y=M\) 处有一条左侧水平渐近线” 意味着 \(\lim _{x \to -\infty} f(x) = M\).
3.5 关于渐近线的两个常见误解¶
首先，一个函数不一定要在左右两边有相同的水平渐近线.
一个函数的确可以有不同的右侧和左侧水平渐近线，但最多只能有两条水平渐近线（一条在右侧，一条在左侧）. 它也可能一条都没有，或者只有一条. 这和垂直渐近线相反：一个函数可以有很多条垂直渐近线.
另一个常见的误解是，一个函数不可能和它的渐近线相交. 这并不正确
3.6 三明治定理¶
三明治定理（又称作夹逼定理）. 说的是，如果一个函数 \(f\) 被夹在函数 \(g\) 和 \(h\) 之间，当 \(x \to a\) 时，这两个函数 \(g\) 和 \(h\) 都收敛于同一个极限 \(L\)，那么当 \(x \to a\) 时，\(f\) 也收敛于极限 \(L\).
如果对于所有在 \(a\) 附近的 \(x\) 都有 \(g(x) \le f(x) \le h(x)\)，且 \(\lim _{x \to a}g(x) = \lim _{x \to a}h(x) = L\)，则 \(\lim _{x \to a}f(x) = L\).
这也适用于左极限或右极限；在那种情况下，不等式只需要在 \(a\) 的相应一侧对于 \(x\) 成立即可. 当 \(a\) 是 \(\infty\) 或 \(-\infty\) 时它也适用；在那种情况下，要求对于所有的非常大的（分别是正的或负的）\(x\)，不等式成立.
第 4 章 求解多项式的极限问题¶
4.3 x→∞ 时的有理函数的极限¶
当看到某个关于 \(p\) 的多项式 \(p(x)\) 是多于一项时，把它代以
对于某一个多项式都这样做！
-
例
\[ \lim _{x \to \infty} \frac{x-8x^{4}}{7x^{4}+5x^{3}+2000x^{2}-6} \]把分子代以
\[ \frac{x-8x^{4}}{-8x^{4}} \times (-8x^{4}) \]把分母代以
\[ \frac{7x^{4}+5x^{3}+2000x^{2}-6}{7x^{4}} \times (7x^{4}) \]做完两次替换后
\[ \lim _{x \to \infty} \frac{x-8x^{4}}{7x^{4}+5x^{3}+2000x^{2}-6} = \lim _{x \to \infty} \frac{\frac{x-8x^{4}}{-8x^{4}} \times (-8x^{4})}{\frac{7x^{4}+5x^{3}+2000x^{2}-6}{7x^{4}} \times (7x^{4})} \]对于这个式子，更应该关注
\[ \frac{-8x^{4}}{7x^{4}} \]这是精华所在，其他分式的极限都是 \(1\)，所以最后的结果为 \(-\frac{8}{7}\)
一般地，考虑极限
其中 \(p\) 和 \(q\) 为多项式，我们可以说：
- 如果 \(p\) 的次数等于 \(q\) 的次数，则极限是有限的且非零；
- 如果 \(p\) 的次数大于 \(q\) 的次数，则极限是 \(\infty\) 或 \(-\infty\)；
- 如果 \(p\) 的次数小于 \(q\) 的次数，则极限是 \(0\).
（当 \(\lim _{x \to -\infty}\)，相应的极限为
时，所有这些也成立.
4.5 x→-∞ 时的有理函数的极限¶
当 \(x\) 是一个非常大的负数时，在任意和中，最高次数项仍然会占主导. 此外，当 \(x \to -\infty\) 时，只要 \(C\) 是常数，且 \(n\) 是一个正整数，\(\frac{C}{x^{n}}\) 仍然趋于 \(0\).
当 \(x\) 为负时，\(\sqrt{x^{2}}=-x\)，当面对 \(x \to -\infty\) 时当多项式型函数的极限时，类似的情况也会出现.
在处理偶数次方根等时，也需要同样小心.
如果 \(x < 0\)，并且想写 \(\sqrt[n]{x^{某次幂}}=x^{m}\)，那么需要在 \(x^{m}\) 之前加一个负号的唯一情形是，\(n\) 是偶的而 \(m\) 是奇的.
第 5 章 连续性和可导性¶
定义
如果 \(\lim _{x \to a}f(x)=f(a)\)，函数 \(f\) 在点 \(x=a\) 处连续.
当然，为了让前面的等式有意义，等号两边必须都是有定义的.
可以对定义进行更精确一些的描述，并明确要求以下三条成立：
- 双侧极限 \(\lim _{x \to a}f(x)\) 存在（并且是有限的）；
- 函数在点 x=a 处有定义，即 f(a) 存在（并且是有限的）；
-
以上两个量相等，即
\[ \lim _{x \to a}f(x)=f(a) \]
如果函数在区间 \((a,b)\) 上的每一点都连续，那么它在该区间上连续.
如果函数在其定义域中的所有的点都连续，我们就说它是连续的. 如果函数的定义域包括一个带有左端点和/或右端点的区间，那么在那里需要函数的单侧连续性.
很多的常见函数都是连续的. 例如，每一个多项式都是连续的. 结果证明，所有的指数函数和对数函数都是连续的，同样所有的三角函数也是如此（除了在它们的渐近线上）.
5.1 连续性¶
介值定理的基本思想：假设一个函数 \(f\) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续.
介值定理
如果 \(f\) 在 \([a,b]\) 上连续，并且 \(f(a)<0\) 且 \(f(b)>0\)，那么在区间 \((a,b)\) 上至少有一点 \(c\)，使得 \(f(c)=0\). 代之以 \(f(a)>0\) 且 \(f(b)<0\)，同样成立.
最大值与最小值定理
如果 \(f\) 在 \([a,b]\) 上连续，那么 \(f\) 在 \([a,b]\) 至少有一个最大值和最小值.
为了确保可以使用最大值和最小值定理，连续性区间必须是闭的.
当然，即使区间不是闭的，该定理的结论也可能回成立.
5.2 可导性¶
可导性，实质上意味着函数有导数.
对于一个函数图像来说，切线的斜率取决于你选取的点 \(x\) 的值. 换句话说，通过 \((x,f(x))\) 的切线的斜率是 \(x\) 的一个函数. 这个函数被称为 \(f\) 的导数，并写作 \(f'\). 我们说，对 \(f\) 关于变量 \(x\) 求导得到函数 \(f'\). 如果极限存在的话，有
这种情况下，\(f\) 在 \(x\) 点可导. 如果对于某个特定的 \(x\)，极限不存在，那么 \(x\) 的值就没有在导函数 \(f'\) 的定义域里，即 \(f\) 在 \(x\) 点不可导.
注意
量 \(\frac{dy}{dx}\) 实际上根本不是一个分数，它是当 \(\Delta x \to 0\) 时分数 \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\) 的极限.
线性函数的导数是常数.
常数函数的导数恒为 \(0\).
由于可以由一个函数 \(f\) 出发，取其导数得到一个新的函数 \(f'\)，实际上可以采用这个新的函数，再次求导. 最终得到导数的导数，这被称为二阶导，写作 \(f''\).
为什么要止步于求二阶导呢？函数 \(f\) 的三阶导是 \(f\) 的导数的导数的导数. 任何导数都可以写成 \(f^{(n)}(x)\) 的形式，其中 \(n\) 为正整数.
右导数和左导数的定义分别为：
如果左导数和右导数存在且相等，那么实际的导数存在且有相同的值. 同时，如果导数存在，那么左右导数都存在且都等于导数值.
- 如果一个函数 \(f\) 在 \(x\) 上可导，那么它在 \(x\) 上连续
- 可导函数必连续
- 连续函数并不总是可导的
第 6 章 求解微分问题¶
6.1 使用定义求导¶
当 \(a\) 是任意实数时，
用文字表述，就是：提取次数，将它放在最前面作系数，然后再将次数减少 \(1\).
如果 C 是常数，那么 \(\frac{d}{dx}(C)=0\).
6.2 用更好的办法求导¶
有一个简单的方法来求 \(x^{a}\) 的常数倍的导数：将指数拖下来，用它和常数相乘，然后将指数降低一次.
对函数和与函数差求导则更容易：对每一部分求导，然后再相加或相减就可以了.
处理函数乘积的时候要更麻烦一些——不能只是将两个导数乘在一起.
乘积法则
乘积法则（版本1）：如果 \(h(x)=f(x)g(x)\)，那么 \(h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\).
乘积法则（版本2）：
乘积法则（三个变量）：如果 \(y=uvw\)，那么
需要注意，不总是能将所有的一切都展开. 有时候只能使用乘积法则.
处理商的方式与处理乘积的方式类似，只是法则稍有不同.
商法则
商法则（版本1）：如果 \(h(x)= \frac{f(x)}{g(x)}\)，那么
商法则（版本2）：如果 \(y= \frac{u}{v}\)，那么
链式求导法则
链式求导法则（版本1）：如果 \(h(x)=f(g(x))\)，那么 \(h'(x)=f'(g(x))g'(x)\).
链式求导法则（版本2）：如果 \(y\) 是 \(u\) 的函数，并且 \(u\) 是 \(x\) 的函数，那么
诸如 \(\frac{dy}{du}\) 和 \(\frac{du}{dx}\) 这样的表达式其实不是分数，它们是分数的极限.
链式求导法则实际上可以同时多次运用.
一个更长形式的链式求导法则：
注意
复合的顺序非常重要！
6.3 求切线方程¶
求导的好处，就是可以使用导数来求所给曲线的切线方程.
假设有一条曲线 \(y=f(x)\) 和曲线上一个特定的点 \((x,f(x))\)，那么过该店的切线的斜率是 \(f'(x)\)，并且词切线通过点 \((x,f(x))\). 现在，就可以通过点斜式来求切线方程. 具体细节如下：
- 求斜率，通过求导函数并代入给定的 \(x\) 值
- 求直线上的一点，通过将给定的 \(x\) 值代入原始函数本身得到 \(y\) 坐标，将坐标写在一起并称之为点 \((x_{0},y_{0})\)；最后
- 使用点斜式 \(y-y_{0} = m(x-x_{0})\)
6.4 速度和加速度¶
求导的另一个应用是计算运动物体的速度和加速度.
我们想象一个物体沿着实轴运动. 我们发现，如果在时刻 \(t\) 它的位置是 \(x\)，那么它在时刻 \(t\) 的速度就是
现在，正如速度是位置的瞬时变化比率，物体的加速度是速度的瞬时变化比率. 也就是说，加速度是速度关于时间 \(t\) 的导数. 由于速度是位置的导数，加速度实际上是位置的二阶导. 因此，有
6.5 导数伪装的极限¶
现在考虑如何求解极限
暂且将它放在一边并考虑一个相关的极限
这个极限和以下公式中的极限非常相似：
因此，要做的就是设 \(f(x)= \sqrt[5]{x}\)，并且注意到 \(f'(x)= \frac{1}{5} x^{-\frac{4}{5}}\)（为了求导，我们将 \(\sqrt[5]{x}\) 写作 \(x^{\frac{1}{5}}\).）导数方程变为
因此，等号左边的极限其实是一个伪装的导数！我们需要创造一个函数 \(f\) 并对它求导来求次极限.
如果在此极限中设 \(x=32\)，就会得到
这是一个双重的伪装：不仅是在处理一个导数，实际上还是在计算一个特定点（在这里是 \(32\)）上的导数.
如果求解一个极限有困难，那它或许是一个伪装的导数. 迹象就是，虚拟变量本身在分母上，并且分子是两个量的差. 即使不是这样的，仍然有可能是在处理一个伪装的导数.
许多极限都是伪装的导数，而你的工作就是揭开它们的伪装.
6.6 分段函数的导数¶
检验一个分段函数在分段连接点上是否可导，需要检验分段在连接点上极限相等（以证明连续性）以及分段的导数在连接点上相等. 否则，在连接点上不可导. 如果有两个以上的分段，就必须在所有的连接点上检验连续性和可导性.
6.7 直接画出导数函数的图像¶
如果你从一个函数的图像画一个导函数的图像，该函数的 \(y\) 轴截距是不重要的！
第 7 章 三角函数的极限和导数¶
7.1 三角函数的极限¶
这个公式非常重要. 基本上，这是解决三角函数的微积分问题的关键所在.
这里至关重要的是，分母要与分子中正弦或正切的变量相匹配，并且当 \(x\) 很小的时候，这个量要很小. 当然，对于余弦，我们所能说的只有
注意
有一点必须非常小心：说当 \(x\) 非常小时，\(sin(x)\) 表现得就像 \(x\)，这只有在乘积或商的语境中才成立.
一般原理
对于任意的正指数 \(\alpha\)，