逻辑学（第3版）

第一章 绪论

第一节 逻辑学的对象

逻辑学属于思维科学。思维科学解释思维的本质和规律。逻辑学把思维形式作为特殊的研究对象。

思维形式是思维内容的存在和联系方式，由逻辑常项和逻辑变项两种要素构成。

• 逻辑常项：是思维形式中的不变成分，决定思维的逻辑内容。
• 逻辑变项：是思维形式中的可变成分，承载思维的具体内容。

思维形式是撇开思维具体内容的逻辑抽象。这种逻辑抽象的意义在于：思维形式有其自身的规律性，人要通过思维获得正确认识，必须遵循这种逻辑规律，否则将导致思维混乱和认识错误。

思维形式的规律性在于：

• 有一类思维形式，在任意带入下，都表达真实的思想内容，这类思维形式称为逻辑规律。
• 另一类思维形式，在任意带入下，都表达虚假的思想内容，这类思维形式称为逻辑矛盾。
• 还有一类思维形式，在有的带入下，表达真实的思想内容；在有的带入下，表达虚假的思想内容。

逻辑学运用逻辑规律，排除逻辑矛盾，使人的思维具有形式上的正确性，即合乎逻辑。

逻辑学的主题，是判定推理的有效性，回答什么上的推理是正确的，什么样的推理是错误的。

一个正确的演绎推理的形式是一个逻辑规律。

第二节 思维、语言和逻辑

思维是人类认识的理性阶段，思维的基本形式是概念、判断和推理。思维以抽象概括的形式反映世界。

在思维与思维科学包括逻辑学之间，又一个物化的具有直接现实性的媒介，即语言。语言是思维的直接显示，是思维的物质外壳。逻辑学透过语言形式的分析，探讨思维的形式。

与逻辑学的研究相关，语言有其层次性。作为逻辑学研究对象的语言和作为逻辑学研究工具的语言，是两种不同的语言。前者叫对象语言，后者叫工具语言（元语言）。

语言是符号系统，有三个要素：

1. 基本符号：基本符号是语言的基本材料，没有基本符号就没有语言。
2. 语形规则：语形规则规定什么样的基本符号串是合式的，什么样的基本符号串不是合式的。
3. 语义规则：语义规则是对语言中合式的词、词组或语句的解释，即对语言符号赋予意义。

语言可分为自然语言和人工语言。

自然语言：

自然语言是人类表达日常思维的语言。

自然语言是人们在长期社会实践中约定俗成的。自然语言通常有歧义。使自然语言产生歧义的各种因素，统称为语境。与语法、语义不同，语境不是语言的构成要素，而是理解自然语言的背景要素。语境与语言的使用者有关，也称为语用。

人工语言：

人工语言是人类为进行相关的科学研究，通过严格定义的方式，而专门设立的语言。数学语言是一种典型的人工语言。逻辑学所运用的人工语言，称为符号语言。

符号语言区别于自然语言的重要特征是：前者排除歧义。

形式语言是一种高度抽象、严格定义的符号语言。用形式语言构造的逻辑系统，称为形式系统。

西方传统逻辑学的主要内容是概念论、词项逻辑（三段论）、古典命题逻辑和古典归纳逻辑。

现代逻辑指数理逻辑，也叫符号逻辑。通常理解的数理逻辑，包括一阶逻辑、模型论、公理集合论、递归论和证明论。

数理逻辑的发展有两个源泉：

1. 作为思维科学，来源于日常思维命题形式和推理规则精确研究的推动
2. 作为数学科学，来源于对数学基础的研究

作为思维科学的数理逻辑，其对象语言，最终主要是自然语言。

以是否使用形式语言和形式化方法，数理逻辑又分为形式化的和非形式化的两部分。

数理逻辑的基础部分是一阶逻辑，这是现代逻辑与传统逻辑关系最密切的部分。

一阶逻辑，也叫一阶谓词逻辑，或狭义谓词逻辑，是传统逻辑的直接发展，是传统逻辑的精确化、严格化和完善化。

第三节 逻辑学的性质和作用

基础性：逻辑学具有基础性地位，是一切知识学科的基础。逻辑学是研究思维形式、规律和方法的科学。

工具性：逻辑学是人类正确思维和有效交际的普遍工具。

人类性：逻辑有全人类性，没有民族性和地区性。逻辑是具有全人类性的基础学科。

逻辑形式与规律的知识，从人类的思维表达实际中概括出来，反过来约束规范人们的认识交际活动。

第二章 概念

第一节 内涵和外延

任何思考，都有思考的主体，也有思考的客体。

对象是一切能够被思考的客体。

对象的属性是对象的性质和对象之间的关系的统称。

对象都有属性。

不具有任何性质，不存在与一定关系中的客体，不能成为思考的对象。

本质属性是一类对象共同具有，且仅为该类对象所具有的属性。概念是把对象作为类来反映的：

• 对某类对象来说，如果某种属性，仅为其中部分成员所具有，而不为全部成员所具有，则称为该类对象的偶有属性。
• 如果某种属性，为该类对象全部成员所具有，则称为该类对象的固有属性。
• 如果某种固有属性，仅为该类对象所具有，则称为该类对象的本质属性。

概念是思维的抽象。概念是反映对象的本质属性的思维形式。概念反映一类对象，舍弃偶有属性，抽取仅为该类对象所具有的固有属性，即本质属性。

这里所说的本质属性，是逻辑学意义上的本质属性。逻辑学意义上的本质属性，与认识论意义上的本质属性有别。逻辑学意义上的本质属性，反映不同对象之间的界限。认识论意义上的本质属性，反映对象现象和本质之间的界限。

一类对象的本质属性可以是多种多言的。

推理

逻辑学研究的核心问题是推理。

推理由命题构成，是命题群。命题由概念构成，是概念的合式结构。概念是思维的要素，是逻辑研究的起点。

概念分逻辑概念和非逻辑概念。

• 逻辑概念刻画对象的逻辑性质和逻辑关系。
• 非逻辑概念刻画对象的非逻辑属性。

概念和语词的区别和联系

区别：概念是语词的思想内容，是抽象的思想形态；语词是概念的存在形式，是具体的物质形态。

联系：

1. 任何概念都由语词表达，但有的语词不表达概念
2. 在不同的语境下，同一概念可由不同的语词表达，同一语词也可表达不同的概念，这就是自然语言的歧义性。

语境及其相关的自然语言歧义，是逻辑思维和逻辑分析密切关注的重要问题。

内涵和外延

逻辑思维要求概念明确，即准确把握概念的内涵和外延。

概念的内涵，是概念所反映的对象的本质属性。

概念的外延，是概念所反映的对象类。

分析概念外延的最低层次是分子、个体，不能任意扩展至分子、个体的组成部分。

任何概念都有内涵和外延。确定一概念的内涵，该概念的外延也随之确定。了解一概念的外延，也有助于理解该概念的内涵。

确定一对象是否属于某概念的外延，标准是看它是否具有该概念的内涵。

第二节 概念的种类

普遍概念、单独概念和空概念

概念外延包含的分子多于一个，成为普遍概念。

概念外延包含一个分子，称为单独概念。单独概念可由专名表示；也可由摹状词表示。摹状词通过刻画某种属性唯一地指称某个对象。

概念外延不包含分子，称为空概念。空概念可由通名表示，也可由专名表示。

实体概念和属性概念

概念反映的对象是实体，称为实体概念。概念反映的对象是属性，称为属性概念。属性概念又分为性质概念和关系概念。

集合概念和非集合概念

类的构成要素是分子。

集合体的构成要素是它的各个组成部分。

类和分子的关系，与集合体和其组成部分的关系，是两种不同的关系。

类的性质，必然地为构成它的每个分子所具有。

集合体的性质，不必然为构成它的组成部分所具有。

反映集合体的概念，称为集合概念。反映类的概念，称为非集合概念。同一个语词，在不同的语境下，可以表示集合概念，也可以表示非集合概念。不能脱离具体语境，断定一个概念是或不是集合概念。

解决这类问题的方法是分析语境。在任一具体语境中，概念具有一义性、准确性。结合具体语境，能够确认一个概念是否为集合概念。

第三节 概念的关系

相容关系

概念外延间的关系，分为相容关系和不相容关系。

两个概念的外延有共同分子，是相容关系；没有共同分子，是不相容关系。

相容关系分为全同关系、属种关系和交叉关系。

不相容关系

根据某种语境，不相容概念有一个确定的属概念，称为论域。

根据论域，概念的不相容，分为矛盾和对立两种关系。

• 矛盾： \(S\) 和 \(P\) 矛盾，是指：\(S\) 和 \(P\) 不相容，并且 \(S\) 和 \(P\) 的外延之和等于其论域 \(M\)。

  

  矛盾关系，也称为互补关系。具有矛盾关系的两个概念，其中一个称为另一个的互补概念。

• 对立： \(S\) 和 \(P\) 对立，是指：\(S\) 和 \(P\) 不相容，并且 \(S\) 和 \(P\) 的外延之和小于其论域 \(M\)。

  

  以上表示概念外延关系的图形，称为欧拉图。

第四节 概念的定义

概念是思想存在的基本形式，是思维的基本要素。概念所具有的思想是隐含的，要通过陈述加以断定。此种陈述，称为概念陈述。

一个概念陈述如果断定了相关概念的固有属性，则称是适当的；否则就是不当的。

在适当的概念陈述中，如果断定了相关概念的本质属性，则称为定义。

显然，定义都是适当的概念陈述，但适当的概念陈述并不都能成为定义。

在日常思维中，应当排除不当的概念陈述，运用适当的概念陈述。这里，适当性是一个语用概念。也就是说，同一个概念陈述，在不同的语境下，可以具有不同程度的适当性。

定义的结构和方法

定义揭示概念的内涵，即本质属性。定义的一般形式是：

\[ 被定义概念 = （邻近）属概念 + 种差 \]

其中，等式左边称为被定义项，右边称为定义项。

定义的一般方法是：

1. 将被定义概念恰当归类，即确定（邻近）属概念
2. 确定被定义概念与同属的其他种概念之间的差别，即种差

种差通常解释被定义概念的特有性质。

• 有时种差揭示关系，相应的定义称为关系定义。
• 有时种差有关功能，相应的定义称为功能定义。
• 有时种差涉及过程，相应的定义称为发生定义。

定义的规则

正确的定义要遵守以下规则：

1. 定义项的概念认知度高于被定义项。 如果在定义项中必须使用认知度较低的概念，则必须先加定义。违反这一规则，称为晦涩定义。
2. 被定义项要恰当归类。
3. 定义项与被定义项的外延必须是全同关系。
4. 定义项中不能直接或间接地包含被定义项。如果直接包含，称为同语反复；如果间接包含，称为循环定义。
5. 定义一般是肯定性描述，但并非不能用否定性陈述。

语词定义

以上讨论的定义称为实质定义。语词定义和实质定义不同，它不是揭示概念的内涵，而是规定或说明语词的意义。规定语词意义的定义称为规定的语词定义，说明语词意义的定义称为说明的语词定义。

规定的语词定义：这是给语词人为地规定、赋加意义。规定和赋加的意义，有宜或不宜之分，但无真或不真之分。略述数种：

1. 为模糊的语词规定确切的涵义。
2. 为冗长的叙述规定简约的表达。
3. 为专门用于规定严格意义。。
4. 为旧词赋新义。

说明的语词定义：这是对语词已经确定的意义给以说明。说明的语词定义有真假，正确说明原来意义即真，否贼为假。

第五节 概念的划分

划分是揭示概念外延的逻辑方法。

划分有三个构成要素：

1. 母项：是通过划分来揭示其外延的概念
2. 子项：是对母项划分后所得到的概念
3. 划分标准：是对母项进行划分的根据

正确的划分要遵守以下规则：

1. 各子项外延之和必须等于母项：违反这一规则所犯错误为“划分不全”
2. 一次划分必须依据统一标准：违反这一规则所犯错误为“划分标准不统一”
3. 子项的外延必须为不相容关系：违反这一规则所犯错误为“子项相容”
4. 各子项必须是同一层次的概念：违反这一规则所犯错误为“子项不当并列”

划分是把泪分为子类，属概念分为种概念，用以明确上位概念的外延。

分解是把整体分为部分，用以明确整体的构成。

划分和分解可用一种逻辑方法来检验、区分。

划分和分解有相同的结构：\(A\) 分为 \(A_{1}，A_{2},···,A_{n}\)。如果 “\(A_{i}\) 是 \(A\)”（\(i=1，2，···，n\)）这一断定成立，则说明表达的部分是划分，否则不是。

第六节 概括和限制

具有属种关系的概念的内涵和外延之间，存在反变关系：内涵较少的概念外延较大，内涵较多的概念外延较小。

限制

限制是通过增加内涵，缩小外延，从属概念得到其种概念的逻辑方法。

限制的作用，是把一般概念具体化。

限制的语言形式，有时是在名词前加定语。有的限制，并不采取在名词前加定语的语言形式。

限制必须在有属种关系的概念之间进行。

单独概念没有种概念，因而不能限制。

概括

概括是通过减少内涵，扩大外延，从种概念得到其属概念的逻辑方法。

概括是思维抽象化的基本形式。

概括的作用，是把具体概念一般化。如果一个定义过窄，可以用概括的方法适当修正。

概括必须在有种属关系的概念之间进行。

最大类概念没有属概念，因而不能概括。

“对象”是最大类概念，不能概括。

第三章 命题逻辑

第一节 复合命题

判断是对对象有所断定的思维形式。

对象无不具有一定的属性。判断对对象有所断定，就是肯定或者否定对象具有（或不具有）某种属性。因而，判断都有真假。

判断只有通过语句才能表达。但是：

1. 并非任何语句都表达判断
2. 同一判断可以用不同语句表达
3. 同一语句可以表达不同的判断

表达判断的语句，称为命题。

命题的基本特征是有真假。命题的真、假二值，统称为命题的真值。真命题的真值为真，假命题的真值为假。

原子命题和复合命题

原子命题是不包含和自身不同命题的命题。

复合命题在一般意义上是包含和自身不同命题的命题。复合命题所包含的与自身不同的命题，称为它的支命题。

复合命题的支命题，仍然可以是复合命题，但最终复合命题总是由原子命题依据一定的逻辑关系构成的。表达这类逻辑关系的语词，称作联结词。因此，可以说，复合命题是由原子命题和联结词构成的。

几种基本的复合命题

联言命题

联言命题是对集中事物情况同时都加以断定的复合命题。

联言命题的一般命题形式是： \(p\) 并且 \(q\)。其中，命题变项 \(p\)、\(q\) 称为联言支，逻辑常项“并且”是联结词。因此，联言命题就是断定联言支都真的复合命题。显然，一个联言命题的联言支至少是两个，但也可以多余两个。

联言命题的符号形式是：\(p \wedge q\)，“\(\wedge\)” 读作“合取”，是对“并且”当一种抽象。在“\(p \wedge q\)”中，\(p\)、\(q\) 称为合取支。

联言命题断定联言支都真。因此，一个联言命题，只有在联言支都真多情况下才是真的，在其他情况下都是假的。

联言命题的真值表：

\(p\)	\(q\)	\(p \wedge q\)
真	真	真
真	假	假
假	真	假
假	假	假

复合命题实际上是一种真值函数。一个完整的真值表，就定义了一个确定的真值函数；不同的真值表，定义不同的真值函数。

选言命题

选言命题是断定在几种事物情况中至少有一种存在的复合命题。

选言命题可分为相容选言命题和不相容选言命题两类。

• 相容选言命题：

  相容选言命题是断定几种事物情况中至少有一种存在，但也可以都存在的选言命题。

  一般形式是：\(p\) 或者 \(q\)。其中，\(p\)、\(q\) 称为选言支，“或者”是联结词。

  相容选言命题的符号形式是：\(p \lor q\)，“\(\lor\)”读作“析取”，是对“或者” 的一种抽象。在“\(p \lor q\)”中，\(p\)、\(q\) 也称为析取支。同样的，相容选言命题的选言支（析取支）至少是两个，也可以是多个。

  相容选言命题断定选言支至少有一真，但也可以都真，因此，一个相容选言命题，只有在选言支都假的情况下才是假的，在其余情况下都是真的。

  相容选言命题的真值表：

  \(p\)	\(q\)	\(p \lor q\)
  真	真	真
  真	假	真
  假	真	真
  假	假	假

• 不相容选言命题

  不相容选言命题是断定几种事物情况中至少有一种存在，并且至多只有一种存在的选言命题。

  一般形式是：要么 \(p\)，要么 \(q\)。\(p\)、\(q\) 为选言支，“要么······要么······”是联结词。因此，不相容选言命题是断定选言支至少有一真并且至多有一真多选言命题。

  不相容选言命题的符号形式是：\(p \vee q\)，“\(\vee\)”读作“不相容析取”，是对“要么······要么······”的一种抽象。

  显然，不相容选言命题，只有在选言支至少有一真，并且至多有一真多情况下才是真的，在其余情况下都是假的。

  不相容选言命题拆真值表：

  \(p\)	\(q\)	\(p \vee q\)
  真	真	假
  真	假	真
  假	真	真
  假	假	假

在日常语言中，“要么 \(p\)，要么 \(q\)”只表示不相容选言命题，“或者 \(p\)，或者 \(q\)”可以表示相容选言命题，也可以表示不相容选言命题，至于实际上表示哪类选言命题，需根据具体的语境而定。

假言命题

假言命题是断定事物情况之间条件关系的复合命题

事物之间的条件关系，包括充分条件关系和必要条件关系。

用 \(p\)、\(q\) 分别表示两种事物情况，则：

• \(p\) 是 \(q\) 的充分条件，是指：有 \(p\) 则有 \(q\)
• \(p\) 是 \(q\) 的必要条件，是指：无 \(p\) 则无 \(q\)

事物情况之间的条件关系分为三种：充分不必要；必要不充分；既充分又必要（充要）。

根据所断定的条件关系的不同，假言命题包括充分条件假言命题、必要条件假言命题和充要条件假言命题三种。

• 充分条件假言命题

  充分条件假言命题是断定事物情况之间充分条件关系的假言命题。

  充分条件假言命题的一般形式是：如果 \(p\)，那么 \(q\)。其中，“如果······那么······”是联结词，\(p\) 称为前件，\(q\) 称为后件。充分条件假言命题断定前件是后件的充分条件。

  充分条件假言命题的符号形式是：\(p \to q\)。“\(\to\)”读作“蕴涵”，是对“如果······那么······”的一种抽象。

  一个充分条件假言命题只有在前件真而后件假的情况下才是假的，在其余的情况都是真的。

  p	q	\(p \rightarrow q\)
  真	真	真
  真	假	假
  假	真	真
  假	假	真

  “\(p \to q\)”是对“如果 \(p\)，那么 \(q\)”的一种抽象，二者的涵义不完全相同。“如果 \(p\)，那么 \(q\)”除了表示前后件的真假关系，还往往表示某种事实上的联系。命题逻辑只从真值关系角度研究命题及其关系

• 必要条件假言命题

  必要条件假言命题是断定事物情况之间必要条件关系的假言命题。

  必要条件假言命题的一般形式是：只有 \(p\)，才 \(q\)。其中，“只有······才······”是联结词，\(p\) 称为前件，\(q\) 称为后件。必要条件假言命题断定前件是后件的必要条件。

  充分条件假言命题的符号形式是：\(p \leftarrow q\)。“\(\leftarrow\)”读作“逆蕴涵”，是对“只有······才······”的一种抽象。

  一个必要条件假言命题只有在前件假、后件真的情况下才是假的，在其余的情况都是真的。

  p	q	\(p \leftarrow q\)
  真	真	真
  真	假	真
  假	真	假
  假	假	真

  根据充分条件和必要条件的定义，定然，如果 \(p\) 是 \(q\) 的充分条件，那么，\(q\) 就是 \(p\) 的必要条件，反之亦然。

• 充要条件假言命题

  充要条件假言命题是断定事物情况之间充分必要条件关系的假言命题。

  必要条件假言命题的一般形式是：当且仅当 \(p\)，才 \(q\)（也可写作 \(q\) 当且仅当 \(p\)）。其中，“当且仅当”是联结词，\(p\) 称为前件，\(q\) 称为后件。充要条件假言命题断定前件是后件的充要条件。

  充分条件假言命题的符号形式是：\(p \leftrightarrow q\)。“\(\leftrightarrow\)”读作“等值于”，是对“只有······才······”的一种抽象。

  一个必要条件假言命题只有在前、后件取相同的真值时才是真的，在其余的情况都是假的。

  p	q	\(p \leftrightarrow q\)
  真	真	真
  真	假	假
  假	真	假
  假	假	真

负命题

负命题是否定一个命题所得到的命题。

负命题的一般形式是：并非 \(q\)。\(q\) 是支命题，“并非”是联结词。负命题的符号形式是：\(\lnot q\)。“\(\lnot\)”读作“并非”。

一个负命题是真的，当且仅当它所否定的命题即支命题是假的。

p	\(\lnot p\)
真	假
假	真

负复合命题的等值命题

负命题所否定的命题可以是原子命题，也可以是复合命题。

两个复合命题是等值的，当且仅当它们在支命题的任意一组赋值下都取相同的真值。

一般复合命题及其真值形式

真值形式就是由命题变项和真值联结词合乎定义地构成的符号表达式。

由一个命题变项定义的真值联结词，称为一元真值联结词；由两个命题变项定义的是二元真值联结词；一般地，由 \(n\) 个命题变项加以定义的是 \(n\) 元联结词。

“\(\lnot\)”是一元真值联结词，“\(\wedge\)”、“\(\vee\)”、“\(\rightarrow\)”、“\(\leftrightarrow\)”是二元真值联结词，这五个称为基本真值联结词，或常用真值联结词。

进一步研究表明：

1. \(n\) 个真值联结词共 \(2^{2^{n}}\) 个。因此，一元联结词共4个，二元联结词共16个，依此类推。
2. 任一真值联结词都可以用基本真值联结词定义。
3. 在基本真值联结词中，{\(\lnot, \wedge\)}，{\(\lnot, \vee\)}，{\(\lnot, \rightarrow\)} 中任意一组，都可以定义其余的基本真值联结词，因而可以定义任一真值联结词。

真值形式的判定：

真值形式分为三类：

• 重言式：一真值形式是重言式，如果它在命题变项的任意一组赋值下都真。
• 矛盾式：一真值形式是矛盾式，如果它在命题变项的任意一组赋值下都假。
• 非重言的可真式：一真值形式是可真式，如果它在至少一组赋值下为真。

显然，重言式都是可真式，可真式未必是重言式。

第二节 命题推理

推理是由若干命题的出一个命题的思维过程。

推理是个命题序列。其中，由推理得出的命题称为结论，其他的命题称为前提。推理提供前提对于结论的证据支持关系。

能提供100%证据支持度的推理称为必然性推理，只能提供某种小于100%证据支持度的推理称为或然性推理。一般地，演绎推理是必然性推理，归纳性推理、类比推理等是或然性推理。（以下凡提到推理，如果不作特殊说明，就是指演绎推理。）

推理的形式有效性及其判定

命题有真假之分， 推理则有对错之分。

推理，既反映前提和结论在内容、意义上的联系，又反映前提和结论在形式结构上的联系。这里所说的推理的有效或无效，不是就推理的内容和意义而言的，而是就推理的形式结构而言的，因此，推理的有效性，也称为形式有效性。

一推理是有效的，当且仅当具有此推理形式的任一推理（即其推理形式的任一解释）都不出现前提真而结论假。显然，有效推理的证据支持度是100%；前提对结论的形式有效的证据关系支持，是一种最强的证据关系支持。

推理有效性的判定，是逻辑学的中心课题。

为了确保运用推理获得真实结论，必须同时满足两条：

1. 推理有效
2. 前提真实

命题推理及其有效式

命题推理就是依据命题之间的逻辑关系进行的推理。在命题推理中，原子命题被当作是最基本的单位，而对它的内部结构不再分析。

命题推理的推理形式，就是只包含命题变项和联结词的真值形式。

命题推理的真值形式是一蕴涵式：前提的合取蕴涵结论。不难得出结论：一命题推理是有效的，当且仅当它的真值形式是重言的蕴涵式。

几种基本的命题推理

联言推理

联言推理是前提或结论为联言命题，并依据联言命题的逻辑性质进行的推理。

联言推理有两种形式：分解式和合成式。

分解式的形式是：

\[ \frac{p \ 并且 \ q}{所以，p} \quad 或者 \quad\frac{p 并且 q}{所以，q} \]

符号形式：

\[ \frac{p \wedge q}{\therefore p} \quad 或者 \quad \frac{p \wedge q}{\therefore q} \]

联言推理分解式的一般形式为：

\[ \frac{p_{1} \wedge p_{2} \wedge \cdots \wedge p_{n}}{\therefore p_{i}(i=1, 2, \cdots ,n)} \]

选言推理

选言推理是前提中有一选言命题，一句选言命题的逻辑性质进行的推理。

选言命题分为相容选言命题和不相容选言命题两类。相应地，选言推理也分为相容选言推理和不相容选言推理。

1. 相容选言推理

   相容选言推理是前提中有一个相容选言命题，依据相容选言命题的逻辑性质进行的推理。

   相容选言命题断定选言支中至少有一真，也可以都真，因此，相容选言推理的规则是：

   1. 否定一部分选言支，可以肯定另一部分选言支
   2. 肯定一部分选言支，不能否定另一部分选言支

   根据这些规则，相容选言推理有一个有效式：否定肯定式。有一个无效式：肯定否定式。

   肯定式（有效式）的形式是：

   \[ \begin{array}{} p \ 或者 \ q \\ 非 \ p\\ \hline 所以，q\end{array} \qquad 或者 \qquad \begin{array}{} p \ 或者 \ q \\ 非 \ q\\ \hline 所以，p\end{array} \]

   符号形式是：

   \[ \begin{array}{} p \vee q \\ \lnot p\\ \hline \therefore q\end{array} \qquad 或者 \qquad \begin{array}{} p \vee q \\ \lnot q\\ \hline \therefore p\end{array} \]

   这是相容选言推理的否定肯定式，是正确的。

   肯定否定式（无效式）的形式是：

   \[ \begin{array}{} p \ 或者 \ q \\ p\\ \hline 所以，非 \ q\end{array} \qquad 或者 \qquad \begin{array}{} p \ 或者 \ q \\ q\\ \hline 所以，非 \ p\end{array} \]

   这是相容选言听力的肯定否定式，是错误的。

2. 不相容选言推理

   不相容选言推理式前提中有一个不相容选言命题，依据不相容选言命题的逻辑性质进行的推理。 不相容选言命题断定选言支中至少有一真，并且至多有一真，因此，不相容选言命题的推理的规则是：

   1. 否定一个选言支以外的选言支，可以肯定雨下的那个选言支。
   2. 肯定一个选言支，可以否定其他选言支。

   根据这些规则，对于不相容选言命题来说，否定肯定式和肯定否定式都是有效式。

   否定肯定式的形式是：

   \[ \begin{array}{} 要么 \ p，要么 \ q \\ 非 \ p\\ \hline 所以，q\end{array} \qquad 或者 \qquad \begin{array}{} 要么 \ p，要么 \ q \\ 非 \ q\\ \hline 所以，p\end{array} \]

   这是不相容选言推理的否定肯定式，是正确的。

   肯定否定式的形式是：

   \[ \begin{array}{} 要么 \ p，要么 \ q \\ p\\ \hline 所以，非 \ q\end{array} \qquad 或者 \qquad \begin{array}{} 要么 \ p，要么 \ q \\ q\\ \hline 所以，非 \ p\end{array} \]

   这是不相容选言推理的肯定否定式，是正确的。

假言推理

假言推理是前提中有一假言命题，并依据假言命题的逻辑性质进行的推理。

假言推理分为三类：

1. 充分条件假言推理

   充分条件假言推理是前提中有一个充分条件的假言命题，并依据充分条件假言命题的逻辑性质进行的推理。

   充分条件假言命题断定前后件的关系是：有前件一定有后件：无前件未必无后件：有后件未必有前件：无后件一定无前件。因此，充分条件假言推理的规则是：

   • 肯定前件可以肯定后件
   • 否定前件不能否定后件
   • 肯定后件不能肯定前件
   • 否定后件可以否定前件

   根据这些规则，充分条件假言推理有两个有效式：肯定前件式和否定后件式，有两个无效式：否定前件式和肯定后件式。

   肯定前件式（有效式）的形式是：

   \[ \frac{如果 \ p，那么 \ q \qquad p}{所以，q} \]

   符号形式是：

   \[ \frac{p \rightarrow q \qquad p}{\therefore q} \]

   这是充分条件假言推理的肯定前件式，是正确的。

   否定后件式（有效式）的形式是：

   \[ \frac{如果 \ p，那么 \ q \qquad 非 \ q}{所以，非 \ p} \]

   其符号形式：

   \[ \frac{p \rightarrow q \qquad \lnot q}{\therefore \lnot p} \]

   这是充分条件假言推理的否定后件式，是正确的。

   否定前件式（无效式）的形式是：

   \[ \frac{如果 \ p，那么 \ q \qquad 非 \ p}{所以，非 \ q} \]

   这是充分条件假言推理的否定前件式，是错误的。

   肯定后件式（无效式）的形式是：

   \[ \frac{如果 \ p，那么 \ q \qquad q}{所以，p} \]

   这是充分条件假言推理的肯定后件式，是错误的。

2. 必要条件假言推理

   必要条件假言推理是前提中有一个必要条件假言命题，并依据必要条件假言命题的逻辑性质进行的推理。

   必要条件假言推理的规则是：

   • 否定前件可以否定后件
   • 肯定前件不能肯定后件
   • 肯定后件可以肯定前件
   • 否定后件不能否定前件

   根据这些规则，必要条件假言推理有两个有效式：否定前件式和肯定后件式，有两个无效式：肯定前件式和否定后件式。

   否定前件式（有效式）的形式是：

   \[ \frac{只有 \ p，才 \ q \qquad 非 \ p}{所以，非 \ q} \]

   符号形式是：

   \[ \frac{p \leftarrow q \qquad \lnot p}{\therefore \lnot q} \]

   这是必要条件假言推理的否定前件式，是正确的。

   肯定后件式（有效式）的形式是：

   \[ \frac{只有 \ p，才 \ q \qquad q}{所以，p} \]

   符号形式是：

   \[ \frac{p \leftarrow q \qquad q}{\therefore p} \]

   这是必要条件假言推理的肯定后件式，是正确的。

   肯定前件式（无效式）的形式是：

   \[ \frac{只有 \ p，才 \ q \qquad p}{所以，q} \]

   这是必要条件假言推理的肯定前件式，是错误的。

   否定后件式（无效式）的形式是：

   \[ \frac{只有 \ p，才 \ q \qquad 非 \ q}{所以，非 \ p} \]

   这是必要条件假言推理的否定后件式，是错误的。

3. 充要条件假言推理

   充要条件假言推理是前提中有一个充要条件假言命题，并依据充要条件假言命题的逻辑性质进行的推理。

   充要条件假言命题断定前后件关系的规则是：

   • 肯定前件可以肯定后件
   • 否定前件可以否定后件
   • 肯定后件可以肯定前件
   • 否定后件可以否定前件

   根据这些规则，充要条件假言推理有四个有效式：肯定前件式、否定前件式、肯定后件式、否定后件式。其形式如下：

   \[ \frac{当且仅当 \ p，q \qquad p}{所以，q}\qquad \qquad \frac{当且仅当 \ p，q \qquad 非 \ p}{所以，非 \ q} \]
   \[ \frac{当且仅当 \ p，q \qquad q}{所以，p}\qquad \qquad \frac{当且仅当 \ p，q \qquad 非 \ q}{所以，非 \ p} \]

   符号形式是：

   \[ \frac{p \leftrightarrow q \qquad p}{\therefore q}\qquad \qquad \frac{p \leftrightarrow q \qquad \lnot p}{\therefore \lnot q} \]
   \[ \frac{p \leftrightarrow q \qquad q}{\therefore p}\qquad \qquad \frac{p \leftrightarrow q \qquad \lnot q}{\therefore \lnot p} \]

二难推理

二难推理是由两个假言命题和一个二支的选言命题作前提构成的命题推理。它的基本形式是：

\[ \frac{如果 \ p，那么 \ r \qquad 如果 \ q，那么 \ r \qquad p \ 或者 \ q}{所以，r} \]

符号形式是：

\[ \frac{p \rightarrow r \qquad q \rightarrow r \qquad p \vee q}{\therefore r} \]

一般命题推理及其判定

一般命题推理的判定，包括两个步骤：

1. 写出所要判定的命题推理的真值形式。

   方法是：先分别写出各前提和结论的真值形式：用“\(\wedge\)”号将各前提的真值形式联结起来；用“\(\rightarrow\)”号将前提的合取式和结论联结起来。所得的蕴涵式即为所要判定的命题推理的真值形式。

2. 寻求一些方法来判定命题推理的蕴涵式是否为重言式。

下面介绍判定命题推理的几种基本方法：

1. 真值表方法

   真值表可以判定任一真值形式是否为重言式，或矛盾式，或可真式，因此，自然也可以判定任一命题推理的蕴涵式是否为重言式。

2. 归谬赋值法

   归谬赋值法式真值表方法的简化运用。因此，也称为简化真值表法。

   归谬赋值法的基本思想是：为了证明一个蕴涵式是重言式，必须证明它不可能前件真而后件假。先假设所要判定的蕴涵式前件真且后件假，并根据这个假设，给每个命题变项赋值，使其满足前件真且后件假。在这样的赋值过程中，如果出现矛盾赋值，即必须同时给同一命题变项既赋真又赋假，那么，这说明原假设不能成立，因而它是重言式；反之，如果不出现矛盾赋值，则说明至少存在一组赋值满足前件真且后件假，因而不是重言式。

3. 范式方法

   常用重言式：下面列出一些常用重言式，这些重言式可用真值表法和归谬赋值法判定。

   1. 同一律：

      \[p \rightarrow q\]

   2. 分离律，可以刻画充分条件假言推理的肯定前件式：

      \[((p \rightarrow q)\wedge p)\rightarrow q\]

   3. 排中律：

      \[p \vee \lnot q\]

   4. 矛盾律：

      \[\lnot (p \wedge \lnot p)\]

   5. 否定后件律，可以刻画充分条件假言推理的否定后件式：

      \[((p \rightarrow q)\wedge \lnot q)\rightarrow \lnot p\]

   6. 析取否定肯定律，可以刻画选言推理：

      \[((p \vee q）\wedge \lnot p)\rightarrow q\]
      \[((p \vee q）\wedge \lnot q)\rightarrow p\]

   7. 合取分解律，可以刻画联言推理的分解式：

      \[(p \wedge q)\rightarrow p\]
      \[(p \wedge q)\rightarrow p\]

   8. 连锁蕴涵律：

      \[((p \rightarrow q)\wedge(q \rightarrow r))\rightarrow (p \rightarrow r)\]

   9. 归谬律，它的涵义是，如果从一个命题可以推出矛盾，那么，这个命题就是假的：

      \[(p \rightarrow (r \wedge \lnot r))\rightarrow \lnot p)\]

   10. 析取添加律：

       \[p \rightarrow (p \vee q)\]

       以上 e ~ j 式是重言蕴涵式。以下是一些重要的重言等值式。

   11. 双重否定律：

       \[q \leftrightarrow \lnot \lnot q\]

   12. 德·摩根律，它说明“\(\wedge\)”和“\(\vee\)”可以相互定义：

       \[\lnot(p \wedge q)\leftrightarrow(\lnot p \vee \lnot q)\]
       \[\lnot(p \vee q)\leftrightarrow(\lnot p \wedge \lnot q)\]

   13. 合取交换律和析取交换律：

       \[(p \wedge q)\leftrightarrow(q \wedge p)\]
       \[(p \vee q)\leftrightarrow(q \vee p)\]

   14. 分配律：

       \[ (p \wedge (q \vee r))\leftrightarrow((p \wedge q)\vee(p \wedge r)) \]
       \[ (p \vee (q \wedge r))\leftrightarrow((p \vee q)\wedge(p \vee r)) \]

   15. 蕴涵析取律，它说明“\(\rightarrow\)”和“\(\vee\)”可以相互定义：

       \[(p \rightarrow q)\leftrightarrow(\lnot p \vee q)\]

   16. 加元律：

       \[p \leftrightarrow (p \wedge (q \vee \lnot q))\]
       \[p \leftrightarrow (p \vee (q \wedge \lnot q))\]

   17. 等值律，它说明“\(\rightarrow\)”可以用其他联结词定义：

       \[(p \leftrightarrow q)\leftrightarrow((p \rightarrow q)\wedge(q \rightarrow p))\]
       \[(p \leftrightarrow q)\leftrightarrow((p \wedge q)\vee(\lnot p \wedge \lnot q))\]

   18. 简化律：

       \[(p \vee p)\leftrightarrow p\]
       \[(p \wedge p)\leftrightarrow p\]

   范式：

   对真值的判定，可以归结为求它的范式。

   范式分为合取范式和析取范式。

   • 简单析取式：是这样一种析取式，它的任一析取支是一命题变项或其否定。

     一简单析取式是重言式当且仅当存在一命题变项及其否定同时是它的析取支。

   • 简单合取式：是这样一种合取式，它的任一合取支是一命题变项或其否定。

     一简单合取式是矛盾式当且仅当存在一命题变项及其否定同时是它的合取支。

   • 合取范式：是这样一种合取式，它的任一合取支都是简单析取式。

     一合取范式是重言式，当且仅当它的任一合取支都是重言的简单析取式，而一个简单析取式是否为重言式是直观可判定的，因此，一合取范式是否为重言式也是直观可判定的。

   • 析取范式：是这样一种析取式，它的任一析取支是简单合取式。

     一析取范式是矛盾式，当且仅当它的任一析取支都是矛盾的简单合取式，而一个简单合取式是否为矛盾式直观可判定的，因此，一析取范式是否为矛盾式也是直观可判定的。

     由于一个真值形式和它的范式是等值的，因此，判定一真值形式是否为重言式，可以归结为求它的合取范式；判定一真值形式是否为矛盾式，可以归结为求它的析取范式。

求范式的方法 范式的存在性

求一个真值形式的范式的方法，包括这样几个具体步骤：

1. 先将真值形式中的“\(\leftrightarrow\)”和“\(\rightarrow\)”完全消去。即用 \((p \wedge q)\vee(\lnot p \wedge \lnot q)\) 置换 \(p \leftrightarrow q\)，用 \(\lnot p \vee q\) 置换 \(p \rightarrow q\)。
2. 将“\(\lnot\)”逐步内移至命题变项之前，消去双重否定号。即用 \(\lnot p \wedge \lnot q\) 置换 \(\lnot(p \vee q)\)，用 \(\lnot p \vee \lnot q\) 置换 \(\lnot(p \wedge q)\)，用 \(p\) 置换“\(\lnot \lnot p\)”。
3. 经过上述两个步骤后，真值形式中只有命题变项、否定以及“\(\wedge\)”和“\(\vee\)”。在上述步骤的基础上，运用合取分配律并加以简化就得原真值形式的析取范式；运用析取分配律并加以化简就得原真值形式的合取范式。

任何真值形式，运用上述方法，都能在有限步内得到一个与之等值的范式。这也就是说，任一真值形式的范式都是存在的。

范式方法在命题推理判定中的运用

一命题推理有效，当且仅当它的真值形式是重言式。因此，一命题推理的判定，可归结为求它的真值形式的合取范式。

注意，一个真值形式的范式不是唯一的，也就是说，同一真值形式可以求得不同的范式。当然，这些范式都是等值的。因此，范式虽然不具有唯一性，但用范式方法进行判定所得出的结论具有唯一的确定性。

第四章 词项逻辑

命题逻辑把原子命题作为一个不再分析的基本单位来考察。但有时需要分析原子命题的内部结构，才能判定某些推理的有效性。

有些推理，在直观上显然有效。事实上，它们的有效性，不是依赖于原子命题间的逻辑关系，而是依赖于原子命题内部的结构。命题逻辑无力分析此类推理。考察此类推理有效性，必须分析原子命题的内部结构。这是本章词项逻辑和下章谓词逻辑的任务。如果把命题逻辑称作逻辑分子学，则词项逻辑就是传统逻辑原子学，谓词逻辑是现代逻辑原子学。

在词项逻辑中，原子命题被分析为主项、谓项、量项和联项的合式构成。

第一节 直言命题

直言命题是断定对象具有或不具有某种性质的命题，亦称性质命题。

直言命题由主项、谓项、联项和量项四要素构成。

主项和谓项统称词项。通常由大写字母 \(S\)、\(P\) 等表示词项。

联项表示所作的断定，即肯定或否定。表示肯定的联项，成为肯定联项，一般用“是”表示。表示否定的联项，成为否定联项，一般用“不是”表示。联项表示主项和谓项肯定或否定的联系。

联项刻画直言命题的质。直言命题的质，指它是肯定命题或否定命题。

量项表示主项外延被断定的情况。量项有全称和特称的不同。全称量项一般用“所有”、“任一”表示。特称量项一般用“有”、“有的”、“有些”等表示。

在直言命题中，全称量项表示，主项外延的全部分子具有命题所断定的性质。特称量项表示，主项外延中存在分子具有命题所断定的性质。具有全称量项的直言命题，称全称命题。具有特称量项的称特称命题。

量项刻画直言命题的两。直言命题的量，指它是全称或特称命题。

量项和联项是逻辑常项，主项和谓项是逻辑变项。根据逻辑常项的不同，直言命题分为不同的种类。

直言命题的种类

直言命题按性质分为肯定和否定命题，按量分为全称和特称命题。直言命题分为以下四种：

1. 全称肯定命题的标准形式为：所有 \(S\) 是 \(P\)，简记 \(SAP\)。简称 \(A\) 命题。
2. 全称否定命题的标准形式为：所有 \(S\) 不是 \(P\)，简记 \(SEP\)。简称 \(E\) 命题。
3. 特称肯定命题的标准形式为：有 \(S\) 是 \(P\)，简记 \(SIP\)。简称 \(I\) 命题。
4. 特称否定命题的标准形式为：有 \(S\) 不是 \(P\)，简记 \(SOP\)。简称 \(O\) 命题。

需要说明：

1. 主项为单独概念的直言命题，成为单称命题。
2. 逻辑上的特称量项“有”和日常语言中的“有”，涵义不完全相同。逻辑上的特称命题，断定“有 \(S\) 是 \(P\)”，是断定至少存在一个 \(S\) 是 \(P\) 的情况，至于究竟存在量的多少，则没有确切的断定，可多可少，但至少有一个，多可以到全体。所以，特称命题也叫做存在命题。

自然语言中直言命题的规范化

对自然语言中的直言命题作规范化分析，需注意两点：

1. 不能改变命题的原意。
2. 同一命题，在不改变原意的前提下，可以整理成不同的规范形式。

直言命题的周延性

直言命题的词项周延性，是在词项逻辑中判定推理有效性的一个重要概念。

直言命题的主项和谓项，称为词项。

在一个直言命题中，如果其主项获谓项的全部外延都被断定，就成该主项或谓项是周延的；否则，就称为是不周延的。周延性的一般规则是：

• 全称命题主项周延
• 特称命题主项不周延
• 肯定命题谓项不周延
• 否定命题谓项周延

\(A\)、\(E\)、\(I\)、\(O\) 四种命题主、谓项周延情况如下表：

命题类型	主项	谓项
A	周延	不周延
E	周延	周延
I	不周延	不周延
O	不周延	周延

主、谓项相同的四种直言命题间的真假关系

直言命题的主、谓项分别对应相同，称它们是同一素材。

同一素材的命题间，在真假方面存在着相互制约关系。

同一素材直言命题间的真假关系，称为对当关系。

对当关系可用下面的方形图（图 4—1）刻画。这个方形图，称为逻辑方阵。

根据逻辑方阵的刻画，同一素材的 \(A\)、\(E\)、\(I\)、\(O\) 四种直言命题间，存在着四种不同的关系：

1. 矛盾关系。分别存在于 \(A\) 和 \(O\)、\(E\) 和 \(I\) 之间。具有矛盾关系称的两个命题，不能同真，也不能同假。
2. 反对关系。存在于 \(A\) 和 \(E\) 之间。具有反对关系的命题，不能同真，可以同假。
3. 下反对关系，存在于 \(I\) 和 \(O\) 之间。具有下反对关系的命题，可以同真，不能同假。
4. 从属关系。分别存在于 \(A\) 和 \(I\)、\(E\) 和 \(O\) 之间。具有从属关系的两个命题，一个是全称命题，另一个是特称命题。全称命题蕴涵特称命题。如果全称命题真，则特称命题真。如果全称命题假，则特称命题真假不定。如果特称命题假，则全称命题假。如果特称命题真，则全称命题真假不定。

直言命题的真假，与其主、谓项外延间的关系有确定联系。

主项 \(S\) 和谓项 \(P\) 外延间的关系，有且只有五种情况：

1. \(S\) 和 \(P\) 是全同关系
2. \(P\) 和 \(S\) 是属种关系（\(P\) 真包含 \(S\)）
3. \(S\) 和 \(P\) 是属种关系（\(S\) 真包含 \(P\)）
4. \(S\) 和 \(P\) 是交叉关系
5. \(S\) 和 \(P\) 是不相容关系

在上述五种关系下，\(SAP\)、\(SEP\)、\(SIP\)、\(SOP\) 这四种同一素材的直言命题都有唯一确定的真假。如下表所示：

上表说明，对当关系的诸关系成立。

需要说明：

1. 对当关系的成立，以直言命题的主项非空（即主项所断定的对象是存在的）为条件。如果主项是空概念，即它所断定的对象不存在，那么，对当关系就不普遍成立
2. 在对当关系中，单称命题不能作全称命题处理。

下面的六角阵图形可用来刻画六种命题间的真假关系：

该图说明，湿了原有的对当关系外，以下各关系成立：

• 单称肯定和单称否定命题矛盾关系

从属关系在以下命题间成立：

• 全称肯定命题和单称肯定命题之间
• 单称肯定命题和特称肯定命题之间
• 全称否定命题和单称否定命题之间
• 单称否定命题和特称否定命题之间

第二节 直接推理

直接推理是以一个命题为前提推出结论的演绎推理。直言命题的直接推理，是以一个直言命题为前提，推出一个直言命题结论的推理。它包括对当关系直接推理和命题变形直接推理。

对当关系直接推理

对当关系直接推理，是根据直言命题 \(A\)、\(E\)、\(I\)、\(O\) 间的真假关系，亦即对当关系进行的推理。\(A\)、\(E\)、\(I\)、\(O\) 间的对当关系，即反对关系、下反对关系、从属关系和矛盾关系，依据这四种关系，可以进行如下直接推理：

1. 反对关系直接推理

   依据反对关系，可由 \(A\) 真推得 \(E\) 假，由 \(E\) 真推得 \(A\) 假。 1. \(SAP \rightarrow\) 并非 \(SEP\) 2. \(SEP \rightarrow\) 并非 \(SAP\)

2. 下反对关系直接推理

   依据下反对关系，可由 \(I\) 假推得 \(O\) 真，由 \(O\) 假推得 \(I\) 真。

   1. 并非 \(SIP \rightarrow SOP\)
   2. 并非 \(SOP \rightarrow SIP\)

3. 矛盾关系直接推理

   依据矛盾关系，可由 \(A\) 与 \(O\) 一为真推得另一为假，由其一为假推得另一为真。对于 \(E\) 与 \(I\)，也可进行类似推导。

   1. \(SAP \rightarrow\) 并非 \(SOP\)
   2. \(SEP \rightarrow\) 并非 \(SIP\)
   3. \(SIP \rightarrow\) 并非 \(SEP\)
   4. \(SOP \rightarrow\) 并非 \(SAP\)

4. 从属关系直接推理

   依据从属关系，可由 \(A\) 真推得 \(I\) 真，由 \(I\) 假推得 \(A\) 假。可由 \(E\) 真推得 \(O\) 真，由 \(O\) 假推得 \(E\) 假。

   1. \(SAP \rightarrow SIP\)
   2. \(SEP \rightarrow SOP\)
   3. 并非 \(SIP \rightarrow\) 并非 \(SAP\)
   4. 并非 \(SOP \rightarrow\) 并非 \(SEP\)

命题变形直接推理

命题变形直接推理，是改变直言命题联项（肯定变否定，或否定变肯定），或改变直言命题主、谓项的位置，从而得出结论的推理。

命题变形直接推理有换质法和换位法。

1. 换质法

   换质法是通过改变前提的质，即由肯定变否定，或由否定变肯定，从而推出结论的方法。要求如下：

   1. 结论和前提不同质，即如果前提是肯定命题，则结论是否定命题；如果前提是否定命题，则结论是肯定命题。
   2. 结论不改变前提的量，即如果前提是全称命题，则结论是全称命题；如果前提是特称命题，则结论是特称命题。
   3. 用与前提的谓项构成矛盾关系的概念，作为结论的谓项。结论谓项与前提谓项间的关系，必须是矛盾关系，不能是其他关系，如不能是反对关系。

   因此，\(A\) 命题的换质变形，是从全称肯定推出全称否定其形式是 \(SAP \rightarrow SE \overline{P}\)。

   \(E\) 命题的换质变形，是从全称否定推出全称肯定，其形式是 \(SEP \rightarrow SA \overline{P}\)。

   \(I\) 命题的换质变形，是从特称肯定推出特称否定，其形式是：\(SIP \rightarrow SO \overline{P}\)。

   \(O\) 命题的换质变形，是从特称否定推出特称肯定，其形式是：\(SOP \rightarrow SI \overline{P}\)。

2. 换位法

   换位法是通过改变前提主、谓项的位置，从而推出结论的方法。要求如下：

   1. 改变前提主、谓项的位置，即前提的主项作结论的谓项，前提的谓项作结论的主项。
   2. 保持前提的质不变，即如果前提是肯定命题，则结论是肯定命题；如果前提是否定命题，则结论是否定命题。
   3. 在前提中不周延的词项，在结论中不得周延。

   换位法有以下三种有效形式：

   1. \(SAP \rightarrow PIS\)
   2. \(SEP \rightarrow PES\)
   3. \(SIP \rightarrow PIS\)

换质法和换位法的综合运用

从一个给定的前提出发，可以按照两条不同的路线，连续地进行命题变形的直接推理：

1. 先换质，再换位，再连续交替地换质、换位，直至不能换位。这称为换质位法。
2. 先换位，再换质，再连续交替地换位、换质，直至不能换位。这称为换位质法。

如果要判定一个已知的前提，能否运用命题变形的直接推理推出一个给定的结论，那么，就可以从这个已知的前提出发分别构造连续换质位推理或连续换位质推理。如果在推理过程中，推出了给定的结论，那么，问题就得到了肯定的判定。

四种直言命题连续变形推理的有效式如下：

1. \(SAP \rightarrow SE \overline{P} \rightarrow \overline{P} ES \rightarrow \overline{P} A \overline{S} \rightarrow \overline{S} I \overline{P} \rightarrow \overline{S} OP\)
2. \(SAP \rightarrow PIS \rightarrow PO \overline{S}\)
3. \(SEP \rightarrow SA \overline{P} \rightarrow \overline{P} IS \rightarrow \overline{P} O \overline{S}\)
4. \(SEP \rightarrow PES \rightarrow PA \overline{S} \rightarrow \overline{S} IP \rightarrow \overline{S} O \overline{P}\)
5. \(SIP \rightarrow SO \overline{P}\)
6. \(SIP \rightarrow PIS \rightarrow PO \overline{S}\)
7. \(SOP \rightarrow SI \overline{P}\rightarrow \overline{P} IS \rightarrow \overline{P} O \overline{S}\)
8. \(SOP\)（不能先换位）

第三节 直言三段论

直言三段论是传统逻辑的主要部分，也是其体系中最为严密、完善的部分。传统逻辑的直言三段论保留了亚里士多德三段论的基本内容，并做了若干补充。

定义：直言三段论是由三个直言命题构成的推理形式。它满足以下三个条件：

1. 这三个直言命题，包含且只包含三个不同的词项。
2. 每个词项，在任意一个命题中至多出现一次，但在这三个直言命题中共出现两次。
3. 以其中两个命题为前提，以第三个命题为结论。如：

\[ \begin{array}{} 所有整数是有理数 \\ 所有自然数是整数\\ \hline 所以，所以自然数是有理数\end{array} \]

结构：三个命题、三个项。

中项：有且只有一个词项，不在结论中出现，而只在前提中出现两次，这个词项称为中项，用 M 表示。

小项：结论的主项称为小项，用 S 表示。

大项：结论的谓项称为大项，用 P 表示。

小前提：包含小项的前提，称小前提。

大前提：包含大项的前提，叫大前提。

上例可表示为如下形式：

\[ \begin{array}{} MAP \\ SAM\\ \hline \therefore SAP\end{array} \]

通常大前提在前，小前提在后，但这不是区分大、小前提的标准。区分大、小前提的标准，是大、小前提的定义，即所包含的是大项或小项。

直言三段论的公理

直言三段论之所以能从两个直言命题出发，得到一个新的直言命题，是基于以下公理：一类对象的全部，是什么或不是什么，那么，这类对象中的部分对象，也是什么或不是什么，或者说，当肯定或否定全部时，也就肯定或否定了部分。

下图表示公理肯定方面的涵义：\(M\) 类的全部都是 \(P\)，那么 \(M\) 中的部分 \(S\) 也是 \(P\)。

下图表示公理否定方面的涵义：\(M\) 类的全部都不是 \(P\)，那么 \(M\) 中的部分 \(S\) 也不是 \(P\)。

从公理图示中可看出，三段论是通过中项，确定大、小项的联系，中项是三段论大、小项和大、小前提的中介、桥梁。

构成一个三段论，必须有且只有三个词项。少于或多余三个词项，都不能满足三段论定义的要求，不能构成一个三段论。

直言三段论的规则

以下五条基本规则，是三段论公理具体化，是三段论有效的充分必要条件，是判定一个三段论是否有效的标准。

1. 中项在前提中至少周延一次。

   三段论通过中项的媒介作用，才得以在结论中确定大、小项大联系。

2. 前提中不周延的项，在结论中也不得周延。

   如果大项或者小项在前提中不周延，这意味着它只断定了其部分外延，也即部分外延与中项发生联系，因此在结论中也只能断定其部分外延。否则，结论的断定就会超出前提的断定，这样前提的真，就不能保证结论必定为真。

3. 两个否定前提不能得结论

   如果两个前提是否定的，在前提中所断定的大、小项外延，与中项外延相排斥，大项与小项不能通过中项建立确定的联系，无法从前提中推出确定的结论。

4. 两个前提中有一个是否定的，结论也必然是否定的。

   如果有一个前提是否定的，那么或者小前提是否定的，此时小前提所断定的小项与中项的外延是相互排斥的；或者大前提是否定的，此时大前提所断定的大项与中项的外延是相互排斥的。在结论中所确立的小项与大项的关系是通过中项来建立联系的，既然二者之一与中项是排斥的，那么在结论中所建立的二者的确定的关系，也必是排斥的，因而结论是否定的。

5. 如果结论是否定的，前提之一必是否定的。

   如果结论是否定的，小项与大项在外延上就是部分或是全部排斥的，假如两个前提都是肯定的，则前提所断定的大项与中项、小项与中项的外延是包含的，在这种情况下，不可能得出小项与大项的确定的排斥关系。这条规则，其实也可说是，两个肯定前提得不出否定的结论。

以上五条规则，是直言三段论的基本规则。从这五条规则还可以推出下面两条导出规则：

1. 两个特称前提不能得结论
2. 两个前提中有一特称，结论也是特称。

直言三段论的格与式

直言三段论的格，指由于中项在两个前提中位置不同所形成的三段论形式。

直言三段论有四个格：

第一格：中项是大前提主项、小前提谓项。

特殊规则：

1. 小前提必须是肯定命题
2. 大前提必须是全称命题

第一格的大前提是全称的，指出了关于一类的情况，小前提是肯定的，把另一些食物归到这一类中，从而推出关于这些事物的结论。因此这一格最明显、最自然地表明了三段论的演绎推理的性质。因此第一格被称为典型的格、完善的格，其他三种格，被称为是不完善的格。司法领域的审判、辩护，经常运用这一格，也被称为审判格或证明格。

第二格：中项是大、小前提谓项。

特殊规则：

1. 两个前提中必须有一个是否定命题
2. 大前提必须是全称命题

第二格的结论是否定的，常用来指出事物之间的区别，说明一事物不属于某一类。也常用于反驳肯定命题，被称为区别格。

第三格：中项是大、小前提主项。

特殊规则：

1. 小前提必须是肯定命题
2. 结论必须是特称命题

第三格的结论是特称的，常被用来反驳全称命题，被称为反驳格。

第四格：中项是大前提谓项、小前提主项。

特殊规则：

1. 如果大前提是肯定命题，则小前提必须是全称命题
2. 如果前提中有一个是否定命题，则大前提必须是全称命题
3. 如果小前提是肯定命题，则结论必须是特称命题
4. 任何一个前提都不能是特称否定命题
5. 结论不能是全称肯定命题

第四格应用较少。

将三段论基本规则，运用于每个格，可得到每个格的特殊规则。

直言三段论的式

直言三段论的式，是前提、结论的质和量的不同，而形成的推理形式。三段论是由三个直言命题所组成的，大、小前提和结论可分别是 \(A\)、\(E\)、\(I\)、\(O\) 四种命题的任一种。

如当前提与结论是 \(A\) 命题时，形成 \(AAA\) 式。

当大、小前提和结论分别是 \(E\)、\(I\)、\(O\) 三种命题时，形成 \(EIO\) 式。

将三段论的基本规则与三段论的格结合起来考虑，总共有24个有效式。各个格的有效式如下：

第一格：\(AAA\)（\(AAI\)）、\(AII\)、\(EAE\)（\(EAO\)）、\(EIO\)

第二格：\(AEE\)（\(AEO\)）、\(EAE\)（\(EAO\)）、\(EIO\)、\(AOO\)

第三格：\(AII\)、\(AAI\)、\(EAO\)、\(EIO\)、\(IAI\)、\(OAO\)

第四格：\(AAI\)、\(AEE\)（\(AEO\)）、\(EAO\)、\(EIO\)、\(IAI\)

在这24个式中，圆括号内的式，在传统逻辑中称为弱式。按传统逻辑的观点，弱式是指本可以推出全称命题，但却推出特称命题的式。

亚里士多德对三段论作格与式的区分，是为了将三段论的有效式构成一个公理系统。

格与式的讨论，是一种逻辑思维能力的训练方式。

直言三段论的省略式

三段论的省略式，是省略一个前提或结论的三段论。任何一个三段论，在逻辑结构上都必须包含大、小前提和结论三个命题。但日常由于表达的简明，或修辞的需要，常常省略三段论的某一前提或结论，这就构成直言三段论的省略式。

省略三段论有三种情况：

1. 省略大前提
2. 省略小前提
3. 省略结论

省略三段论虽然能使语言表达简练，但是由于它省略了其中的要素，所以容易掩盖逻辑错误。检验一个省略三段论的有效性的方法，是先补充省略的部分，将省略三段论复原为完整的三段论。

复原的步骤如下：

1. 先确定省略三段论所省略的式前提，还是结论。
2. 如果省略的是结论，那就根据两个前提中项所处的位置，按三段论的基本规则或格的特殊规则将结论补充起来。如果省略的式某个前提，那就要先确定省略的式大前提还是小前提，然后再按三段论的基本规则或格的特殊规则，将省略的前提补充起来。
3. 由于第一格最自然，可以考虑尽量复原为第一格。

第五章 谓词逻辑

第一节 原子命题的内部结构

谓词逻辑的意义

在命题逻辑中，原子命题这当作基本单位，其内部结构不再分析。

为了更有效地、更不失一般性地处理自然语言所表达的逻辑思维，就需要我们进一步分析原子命题的结构，提出新的逻辑工具，这就是谓词逻辑的任务。

谓词和个体词

在谓词逻辑中，原子命题可以进一步分析为谓词、个体词、量词以及逻辑联结词这样几个基本成分。谓词、个体词和两次是在谓词逻辑中新引入的概念。

刻画一个客体的性质的谓词称为一元谓词；刻画两个客体的关系的谓词称为二元谓词；一般地，刻画 n 个客体的关系的谓词称为 n 元谓词。显然，谓词不能脱离个体词而独立存在。

如果一个谓词符号表示的是一个具体谓词，就称为谓词常项；如果表示的是某一个不确定的谓词，则称为谓词变项。

量词

一个包含个体变项的谓词表达式不是命题。

在量化的过程中，我们使用了量词。

量词包括全称量词和存在量词。全称量词是断定所有的客体都具有相关谓词刻画的性质或关系，存在量词是断定存在客体（即至少有一个）具有相关谓词刻画的性质或关系。

\(\forall\) 表示全称量词，\(\exists\) 表示存在量词。

可见，量词直接刻画个体变项的量。这样，个体变项的取值范围就是个重要的问题。同一个带量词的命题，由于个体变项的取值范围不同，可以取不同的真值。

个体变项的取值范围称为论域，亦称个体域。如果不作特殊限制，论域就指所有的客体。

被量词约束了的个体变项称为约束个体变项。不被量词约束的个体变项称为自由个体变项。

为了确定一个体变项是自由的还是约束的，就必须明确量词约束的范围。

量词约束的范围称为量词的辖域。我们约定紧靠量词的括号内的符号表达时是该量词的辖域，括号外则不是；如果紧靠量词没有括号，那么，靠近量词的不包含逻辑联结词的表达式是该量词的辖域，其他的则不是。

上述表达谓词、个体词和量词的符号语言，称为一阶语言。

命题形式及其解释

命题变项、谓词变项和自由个体变项统称变项。

命题常项、谓词常项和个体常项统称常项。逻辑联结词也是一种特殊的常项，称为逻辑常项。

约束个体变项不作为常项，也不作为变项。因为它虽不表示具体的个体，却能用来表示具体的命题。

包含变项的符号表达时称为命题形式。我们约定，命题形式是有限构成的，即有限长的符号串。命题形式的变项中如果只包含命题变项，则称为真值形式。可见，真值形式就是命题逻辑中的命题形式。

命题形式不是命题，没有真假。命题形式看来脱离了命题，但实际上有了命题形式的抽象，就可以暂时舍开具体内容，独立地从逻辑结构上对命题及其关系进行更有效的分析。但既要有从命题到命题形式的抽象化，又要有从命题形式到命题的具体化。

从命题形式得到命题的一个基本方法，称作解释。命题形式的一个解释，就是用一组常项分别取代该命题中的所有变项。在真值形式中，有时我们不是用命题常项（具体命题）来取代命题变项，而是给命题变项以确定的真值。这是一种特殊的解释，即真值解释，也称作真值赋值。

命题形式结果解释，就成为命题。

一个命题形式的解释自然不是唯一的，而是无穷的。在不同的解释下，从命题形式得到的命题可以出现不同的真值情况：

• 一个命题形式，如果在任一解释下都得到一个真命题，则称为普遍有效式。
• 一个命题形式，如果在至少一种解释下能得到真命题，则称为可满足式。
• 一个命题形式，如果在任一解释下都不能得到一个真命题，则称为不可满足式。

普遍有效式当然是可满足的，但可满足式不一定是普遍有效式。

普遍有效的真值形式即是重言式。

第二节 自然语言的谓词表达式

直言命题的表达式

全称命题的语言形式自身并不包含主项存在的断定；有的全称命题所包含的主项存在的断定，是语境附加的。但是，为了不失一般项，全称命题的符号表达式不应包含主项存在的形式刻画。

重叠量化式

包括量词的表达式称为量化式。一个量化式中出现两个或两个以上的量词，称为重叠量化式。

量化式的复合

至少有一刚饿量词的辖域是整个表达式。这样的量化式是简单量化式；简单量化式用逻辑联结词联结，就是量化式的复合。

量化推理式

量化推理式，是指一个推理的符号表达式中出现量词。

一个推理的逻辑结构是一个蕴涵式，即前提蕴涵结论。推理符号化，就是分别将前提和结论符号化，然后用蕴涵号将它们联结起来。

第三节 量化推理

包含量词的推理，称为量化推理。谓词逻辑处理量化推理。

推理有效性的判定，是逻辑学的核心问题，也是谓词逻辑的核心问题。

美国当代逻辑学家丘奇（Chruch）证明了在一阶逻辑（即量词只约束个体变元而不约束谓词变元的谓词逻辑）中，不存在能行方法判定任一命题形式是否普遍有效。因此，在谓词逻辑中，不存在能行方法可以判定任一推理是否有效。谓词逻辑中的命题形式也有范式。这些范式也能揭示员命题形式的一些逻辑性质，但它不像真值形式的范式那样，具有能行的判定作用。

有穷个体域中量化推理的有效性是能行可判定的。

在谓词逻辑中，普遍有效性之所以不能一般地加以能行判定，是因为个体域的中个体可以是无穷多个。如果个体域中的个体不是无穷，而是有穷的，那么，谓词逻辑中的普遍有效形式都是能行可判定的。

第四章中判定直言三段论有效性的五条基本规则，对于判定三段论的有效性，既是充分的，有时必要的。如果确认这一点，那么直言三段论是能行可判定的。任一三段论，如果同时不违反任一规则，则是有效的；如果违反其中的某一条规则，则是无效的。判定任一三段论符合或不符合规则，是能行的。

满足上述五条规则对于有效直言三段论的充分行，即如果同时不违反任一规则，三段论有效，这一点尽管非常直观，但严格证明并未给出。因此，判定直言三段论能行可判定，需要假设上述规则的充分性。

第四节 二元关系的若干性质

对象的属性本身，也构成一种对象。

对象的属性作为一种对象，自身自然也就具有属性。这就是属性的属性。

二元关系的若干性质

自返性

1. 自返关系：设 \(R\) 为一二元关系。如果 \(\forall xRxx\)（即对任一对象而言，该对象与其自身具有关系 \(R\)），则称 \(R\) 为自返关系。
2. 反自返关系：设 \(R\) 为一二元关系。如果 \(\forall x \lnot Rxx\)（即对任一对象而言，该对象不与自身具有关系 \(R\)），则称 \(R\) 为反自返关系。
3. 不定自返关系：设 \(R\) 为一二元关系。如果 \({\exists}\) \(xRxx \wedge {\exists} y \lnot Ryy\)（即存在对象 \(x\)，\(x\) 与自身具有关系 \(R\)，并且存在对象 \(y\)，\(y\)不与自身具有关系 \(R\)），则称 \(R\) 为不定自返关系。

对称性

1. 对称关系：设 \(R\) 为一二元关系。如果 \(\forall x \forall y(Rxy \rightarrow Ryx)\)（即对任意对象 \(x\) 和 \(y\) 而言，如果 \(x\) 和 \(y\) 有关系 \(R\)，则 \(y\) 和 \(x\) 有关系 \(R\)），则称 \(R\) 为对称关系。
2. 反对称关系：设 \(R\) 为一二元关系。如果 \(\forall x \forall y(Rxy \rightarrow \lnot Ryx)\)（即对任意对象 \(x\) 和 \(y\) 而言，如果 \(x\) 和 \(y\) 有关系 \(R\)，则 \(y\) 和 \(x\) 没有关系 \(R\)），则称 \(R\) 为反对称关系。
3. 不定对称关系：设 \(R\) 为一二元关系。\(\forall x \forall y(Rxy \rightarrow (\diamond Rxy \wedge \diamond \lnot Ryx))\)

传递性

1. 传递关系：设 \(R\) 为一二元关系。如果 \(\forall x \forall y \forall z((Rxy \wedge Ryz)\rightarrow Rxz)\)（即对任意对象 \(x\)、\(y\)、\(z\) 而言，如果 \(x\) 和 \(y\) 有关系 \(R\)，\(y\) 和 \(z\) 有关系 \(R\)，则 \(x\) 和 \(z\) 有关系 \(R\)），则称 \(R\) 为传递关系。
2. 反传递关系：设 \(R\) 为一二元关系。如果 \(\forall x \forall y \forall z((Rxy \wedge Ryz)\rightarrow \lnot Rxz)\)（即对任意对象 \(x\)、\(y\)、\(z\) 而言，如果 \(x\) 和 \(y\) 有关系 \(R\)，\(y\) 和 \(z\) 有关系 \(R\)，则 \(x\) 和 \(z\) 没有关系 \(R\)），则称 \(R\) 为反传递关系。
3. 不定传递关系：设 \(R\) 为一二元关系。如果 \(\forall x \forall y \forall z((Rxy \wedge Ryz)\rightarrow(\diamond Rxz \wedge \diamond \lnot Rxz))\)（即对任意对象 \(x\)、\(y\)、\(z\) 而言，如果 \(x\) 和 \(y\) 有关系 \(R\)，\(y\) 和 \(z\) 有关系 \(R\)，则 \(x\) 和 \(z\) 可能有关系 \(R\)，也可能没有关系 \(R\)），则称 \(R\) 为不定传递关系。

第六章 逻辑基本规律

逻辑基本规律指同一律、矛盾律、排中律和充足理由律。正确的思维必须满足确定性、协调（不矛盾）行和论证性。这四条规律是逻辑的基本规律。

传统逻辑主要从内容、作用上来定义和说明逻辑规律，现代逻辑主要从形式上定义和说明逻辑规律。

第一节 同一律

同一律的内容是：在同一思维过程中，每一思想与其自身同一。即每一概念、命题和其他思维形式，都保持确定性和一贯性。同一律的公式是：

\(A\) 是 \(A\)

“\(A\)”表示任一概念、命题和其他思维形式。

1. 同一律要求在同一思维过程中，保持概念自身的同一。同一概念，可以有不同的内涵；同一概念的同一使用者，可以赋予所使用的的概念以不同的内涵；同一概念的不同使用者，可以赋予所使用的概念以不同的内涵；同一语词可以表达不同的概念，等等。但是，同一律要求，在正确思维的同一过程中，同一概念的内涵必须保持同一，即保持不变。违反这一要求的逻辑错误，称为混淆或者偷换概念。

   偷换概念是诡辩论者常用的手法。

2. 同一律要求在同一思维过程中，保持论题自身的同一。违反这一要求的逻辑错误，称为转移或偷换论题。

3. 同一律要求在同一思维过程中，保持语境自身的同一。引用和评价任何言论，应该保持其语境的同一，不能任意改变。

第二节 矛盾律

两个命题相互矛盾，是指两个命题不能同真，也不能同假。两个命题相互反对，是指两个命题不能同真，但可以同假。

矛盾律的内容是：在同一思维过程中，两个相互矛盾和反对的命题，不能同时为真（其中相互矛盾的命题必有一假，互相反对的命题可以同假）。矛盾律的公式是：

并非“\(A\) 且非 \(A\)”

\(A\) 表示任一命题，“非 \(A\)”表示 \(A\) 的矛盾命题。这一公式直接涉及的是两个矛盾命题。

矛盾律要求，对两个互相矛盾或互相反对的命题不能同时肯定。违反这一要求出现的谬误，称为自相矛盾。协调，就是不自相矛盾。矛盾律要求思想的协调性，或称一致性。矛盾律认定，自相矛盾的思想一定是一种谬误。

思想的不协调有三种形式：矛盾直陈、蕴涵矛盾和隐含矛盾。

• 矛盾直陈是指所陈述的思想直接包含互相矛盾或互相反对的断定。
• 蕴涵矛盾是指所陈述的思想虽然不直接自相矛盾或反对，但能推出矛盾。
• 隐含矛盾是指所陈述的思想只有在很强的假设下才能避免推出矛盾。一个假设越强，是指该假设不成立的可能性越大。因此，隐含矛盾是指难以避免矛盾。

悖论

自相矛盾又叫“悖”，自相矛盾的论点叫“悖论”。

1. 说谎者悖论
2. 集合论悖论
3. 理发师悖论
4. 拜里悖论
5. 涉嫌者悖论

悖论的特征是，从真实性难以怀疑的前提，合乎逻辑地推出矛盾的结论。

对于矛盾的本质，大致有三种意见：

1. 悖论涉及的是逻辑矛盾，必须排除。
2. 悖论涉及的辩证矛盾。
3. 悖论涉及的是不同于逻辑矛盾和辩证矛盾的思维矛盾。

悖论是对人类日常思维的挑战，是对逻辑学的挑战。对悖论的研究，推动逻辑学、数学、哲学等学科理论等发展。

第三节 排中律

排中律的内容是：在同一思维过程中，矛盾命题不能同假，必有一真。排中律的公式是：

\(A\) 或者非 \(A\)

\(A\) 表示任一命题。“\(A\) 或者非 \(A\)”，表示矛盾命题不能同假，必有一真。

排中律的要求是：对两个矛盾命题，不能同时都否定，必须肯定其中之一。违反这一要求的逻辑错误，称为“不当两不可”，即对两个矛盾命题都否定。

对两个互相反对的命题，同时都否定，不违反排中律的要求。

复杂问语预设一个对被提问者不利的前提，对复杂问语的恰当回答，是针对问题的预设，而不是针对问题本身。

矛盾律和排中律的区别

1. 适用范围不同：矛盾律适用于矛盾和反对命题，排中律只适用于矛盾命题。
2. 逻辑要求不同：矛盾律要求，对矛盾和反对命题，不能同时都肯定，对矛盾命题必须否定其中之一，对反对命题至少否定其中之一。排中律要求，对矛盾命题，不能同时都否定，必须肯定其中之一。
3. 逻辑错误不同：违反矛盾律，犯“自相矛盾”的错误。违反排中律，犯“不当两不可”的错误。

第四节 充足理由律

充足理由律的内容是：在论证中论题的成立必须有充足理由，即论据真实，并且从论据中能推出论题。在论证中，如果支持论题的论据不真实，或者螺距推不出论题，则论题自身即使是真实的命题，也不具备充足理由，这样的论证违反充足理由律，缺乏论证性和说服力。

充足理由律是对论证而言的。论证是推理的运用。一个推理，如果把它的结论看作论题，前提看作论据，推理也可看作论证，适用充足理由律。充足理由律的公式是：

\(（A \wedge (A \rightarrow B)）\rightarrow B\)

\(A\)、\(B\) 分别表示任一命题。其涵义是，在一个论证中，要断定论题 \(B\) 真，必须满足：第一，论据 \(A\) 真；第二，从论据 \(A\) 能推出论题 \(B\)。

充足理由律作用于论证，有三条要求：

1. 要有论据，即“持之有故”。
2. 论据要真实。
3. 论据能推出结论。

形式的推不出来，指从前提到结论的推理，违反推理的形式规则。

第七章 模态逻辑

第一节 概述

模态逻辑的主要目的就是要基于“必然”、“可能”等模态词考虑推理的形式结构是否有效，这是经典逻辑所无法回答的。

模态逻辑研究含有模态词的命题的逻辑特性及其推理关系。

由简单模态词叠置而成的模态词又称叠置模态词，相应的模态称为叠置模态，相应的模态概念称为叠置模态概念。

“\(\Box \diamond\)” 表示必然的可能性。 “\(\Box \diamond \Box\)” 表示必然可能的必然性.

模态的种类

客观模态和主观模态

客观模态是指客观事物本身的存在样式、情状和趋势等。

主观模态是指人的认识中的确定性或不确定性。

逻辑模态和非逻辑模态

逻辑模态是指逻辑上的必然性和可能性。

非逻辑模态是指逻辑模态之外的模态，包括物理的模态、生物的模态、哲学的模态等。

狭义模态和广义模态

狭义模态是关于必然性与可能性等这类性质的模态，又称为真性模态（alethic modality），是关于真的性质的模态。通常所说的模态逻辑是关于狭义模态的模态逻辑。

广义模态是关于应该、允许、禁止等等道义模态，关于知道、相信等的认知模态，相应地有道义逻辑、认知逻辑等。

模态命题及其特性

命题是对事物情况的断定，如果这个断定中还含有模态的内容，那么就是模态命题，否则就是非模态命题。

• 从形式上看，模态命题都含有模态词。
• 从内容看，模态命题反映了客观事物和人们认识的必然性、可能性、确定性、不定性等。

含有模态词的命题的真值并不由其中的非模态命题的真值所完全决定。这一性质叫做非真值函数性，或者叫做内涵性。模态词的非真值函数性带来了模态命题的复杂性，即模态命题的真假需要通过建立可能世界语义学才能得到说明。

模态命题形式

逻辑学中所说的命题形式本质上是指命题的逻辑形式，即逻辑结构。同一个命题，不同的逻辑决定它有不同的命题形式。

一般地，对于任意命题，如果我们考虑到模态，并在有这部分内容时给出相应的形式表达，那么所得到的客体形式就是命题的模态形式。通过这一规定，由模态命题得到的命题形式都是命题的模态形式，由非模态命题得到的命题形式也可以看作是命题的模态形式，即空模态形式。所以，模态命题形式在本质上是指命题的模态形式。

模态逻辑的范围

狭义模态逻辑也叫真性模态逻辑，是关于必然性和可能性的逻辑。通常说的模态逻辑就是狭义模态逻辑。

广义模态逻辑是关于各种广义模态词的逻辑，具体来说包括道义逻辑、认知逻辑、时态逻辑等。这里仅限于介绍模态逻辑和道义逻辑两个分支，考察仅限于模态逻辑命题和道义逻辑命题，即模态命题及其推理、道义命题及其推理。

第二节 模态命题及其推理

基本模态命题及其符号化

模态命题是真性模态命题的简称，它是反映事物情况存在的必然性和可能性等的命题。

必然命题和可能命题都有肯定和否定的情况，所以基本模态命题有四种：

1. 必然肯定命题

   必然肯定命题是断定事物情况必然存在的命题。

   其逻辑形式是：必然 \(p\)，记为 \(\Box P\)。

2. 必然否定命题

   必然否定命题是断定食物情况必然不存在的命题。

   其逻辑形式是：必然非 \(p\)，记为 \(\Box \lnot P\)。

3. 可能肯定命题

   可能肯定命题是断定事物情况可能存在的命题。

   其逻辑形式是：可能 \(p\)，记为 \(\diamond P\)。

4. 可能否定命题

   可能否定命题是断定事物情况可能不存在的命题。

   其逻辑形式是：可能非 \(p\)，记为 \(\diamond \lnot P\)。

复合模态命题和叠置模态命题

对于基本模态命题来说，模态词只加在一个原子命题或其否定之上。其实，模态词还可以加在一复合命题之上，而且模态命题本身也可以用命题联结词联结起来，构成更为复杂的命题。

叠置模态命题是指对一个已含有模态词的命题再加上模态词。

基本模态命题之间的对当关系

具有相同素材即具有相同命题变项的四种基本模态命题 \(\Box P\)、\(\Box \lnot P\)、\(\diamond P\)、\(\diamond \lnot P\) 之间在真假方面存在着必然的制约关系，即基本模态命题之间的真假对当关系。它包括矛盾关系、反对关系、下反对关系和从属关系。这些关系可以用一个正方图形来表示，这个正方图形叫作模态方阵。

第三节 道义命题及其推理

第八章 归纳逻辑

第一节 概述

归纳是推理（从结构形式说），又是方法（从方式、规则说）。归纳逻辑是关于归纳推理和归纳方法的理论，分古典归纳（传统归纳）和现代归纳两部分。

归纳推理是从个别性只是，引出一般性知识的推理。前提的个别性命题是真的，结论的一般性命题也是真的。完全归纳推理，在形式、方法上是归纳推理，实质上是带演绎性的、必然性的推理。

归纳推理中根本上说是由已知真的前提，引出可能真的结论。

归纳推理的前提与结论之间，具有必要条件关系。

确证度

确证度是推理前提对结论的确证程度。推理的前提叫证据、推理的结论叫假说，确证度是证据对假说的支持度。确证度可用概率值表示。描述确证度的条件概率，也称逻辑概率。推理前提对于结论的支持度，也称为归纳强度。

归纳推理也称为归纳方法。完全归纳推理，也叫完全归纳法。不完全归纳推理，也叫不完全归纳法。归纳方法，还包括提高归纳前提对结论确证度的逻辑方法，即求因果五法、求概率方法、统计方法、手机和整理经验材料的方法等。

归纳与演绎的关系

归纳与演绎的区别：

1. 思维进程的方向不同。一眼是从一般性命题引出个别性命题。归纳是从个别性命题，引出一般性命题。
2. 对前提真实性的要求不同。演绎不要求前提必须真实，归纳则要求前提必须真实。
3. 结论断定的知识范围不同。演绎的结论没有超出前提所断定的知识范围，归纳的结论超出前提所断定的知识范围。
4. 前提与结论间的联系程度不同。演绎的前一与结论间的联系，是必然的。前提真实，形式正确，必然能推出真实的结论。归纳的前提与结论间的联系，是或然的。前提真实，形式正确，不能必然推出真实的结论。演绎的前提与结论间，具有充分条件的关系，前提蕴涵结论，前提对于结论的确证度 \(P(h/e)=1\)。归纳的前提与结论间，具有必要的条件关系，前提不蕴涵结论，而被结论所蕴涵，前提对于结论的确证度 \(0<P(h/e)\leqslant 1\)

归纳与演绎的联系是：

1. 演绎离不开归纳。演绎推理前提的一般性知识，需要通过归纳才能得到。
2. 归纳离不开演绎。归纳与演绎，是必然相互联系着的。全归纳派把归纳说成卫衣kext的思维方法，否认演绎在认识中的作用。全演绎派否认归纳的意义，把演绎说成唯一科学的思维方法。这两种观点都是片面的。

古典归纳逻辑

古典归纳逻辑，是由培根创立，经过穆勒 发展起来的归纳理论。它主要研究完全归纳推理、不完全归纳推理和求因果五法等。

古典归纳逻辑的创始人是17世纪英国的弗兰西斯·培根。

培根提出了著名的“三表法”。

• 第一表是“本质和具有表”。通过该表从不同的事物中找出它们的共同性质，从而发现事物的原因。
• 第二表是“差异表”。通过该表找出事物所缺乏的某种性质，以便进一步发现事物的原因。
• 第三表是“程度表”或“比较表”。通过该表揭示出不同条件下同一事物中某种性质的不同处度，从而进一步确认事物的现象的真正原因。

培根提出并运用了“三表法”、“排斥法”等，把归纳推理推向了一个新的阶段——科学归纳推理，从而成为古典归纳逻辑的创始人。

现代归纳逻辑

古典归纳逻辑在培根创立之后，遭到了哲学家休谟的诘难，这一诘难通常被称为归纳问题或休谟问题。该问题是说，归纳推理从个别推出一般，从特殊事实上升到具有普遍必然性的知识没有逻辑保证，因为它存在两个逻辑跳跃：一是从有限推出无线，而是从过去、现在推测未来。由于存在这两个逻辑跳跃，所以，归纳推理存在以下三方面的问题：

1. 归纳的有效性不能得到演绎地证明，因为适用有限的未必适用无限，适用过去和现在的未必适用将来。
2. 归纳推理的有效性不能得到归纳地证明，因为根据归纳推理在实践中获得的成功去证明归纳推理的有效性就要用到归纳推理，从而导致无穷倒退或循环论证。
3. 归纳推理要以自然齐一律和普遍因果律为基础，但这两者并不具有客观的真理性，它们只不过是出于人们习惯性的心理联想而已。

现代归纳逻辑的根本特征，是用概率论的定量分析和公理化、形式化的手段，探索有限的经验事实对一定范围内的普遍原理的证据支持度。

现代归纳逻辑的研究肇始于19世纪中叶。德·摩根、耶方斯、文恩等人都曾探索运用古典概率论来研究归纳问题。凯恩斯一先验概率为基础，构建概率演算的公理系统，创立了现代归纳逻辑。

卡尔纳普在1950年发表《概率大逻辑基础》，主张用前提（证据）对于结论（假说）的证据支持度揭示概率，将归纳逻辑视为研究证据支持度的理论，创立“逻辑概率论 ”。

卡尔纳普把莱辛巴哈大频率概率叫做概率2，把自己所主张的逻辑概率叫做概率1，并在概率1的基础上构造类似于演绎逻辑的归纳逻辑语义系统。开呢死的结构概率论和卡尔纳普的逻辑概率论都是客观概率论，而主观贝叶斯主义则主张主观概率，即概率是某个人根据给定证据对于一个给定命题的置信度。客观概率论和主观贝叶斯主义都属于贝叶斯派，因为二者都承认贝叶斯定理，即 \(P(B/A)=(P(B) \wedge P(A/B))/P(A)\) 的有效性。一莱辛巴哈为代表的频率概率论不承认贝叶斯定理的有效性，故又称非贝叶斯派。

无论是贝叶斯派还是非贝叶斯派，二者都承认下述三个公理：

1. \(P(A) \ge 0\)，即任一时间或命题的概率大于或等于 0。
2. \(P(\Omega)=1\)，即任何必然事件的概率都等于 1。
3. 如果 \(A\) 与 \(B\) 互斥，则 \(P(A \wedge B)=P(A)+P(B)\)。

凡满足上述三个公理的逻辑概率被称为帕斯卡逻辑概率，范式不满足这三个公理的逻辑概率被称为非帕斯卡逻辑概率。科恩的分级支持理论、伯克斯的因果陈述逻辑都属于非帕斯卡逻辑概率，这些研究成果对于发展现代归纳逻辑都各有其独到的贡献。

归纳悖论

1. 确认悖论

   又称为乌鸦悖论。说的是，如果同时接受尼柯标准和等值原则就会导致违背常识的现象发生，即一个既黑又不是乌鸦的客体如同一块白手绢，可以确证“所以乌鸦都是黑的”。

2. 蓝绿悖论

   运用简单枚举法，从同样的观察事例可以得到不同的甚至相互矛盾的结论。

3. 彩票悖论

   彩票悖论主要是针对亨佩尔所提出的接受假说的三个合理性条件来说的：

   1. 一是接受概率为 \(1- \epsilon(0 < \epsilon < 1, \epsilon 为最小数)\) 是合理的。
   2. 二是接受一组可合理接受的假说的逻辑后承是合理的。
   3. 三是接受一组彼此不一致的假说是不合理的。

归纳悖论是休谟诘难在现代归纳逻辑中的变形形式，它们的存在，说明了现代归纳逻辑中还有许多问题需要解决。

第二节 收集和整理经验材料的方法

运用归纳推理，必须占有材料，使用观察、实验和调查等收集经验材料的方法。

1. 观察

   观察是人们通过感觉器官或借助一定的科学仪器，有目的、有计划地认识自然状态下各种现象的发生发展过程，从而获取经验材料的方法。

   观察不同于一般的感知，它主要具有以下两个特点：

   1. 一是有计划性和有目的性。
   2. 二是有选择性。

   在进行观察时应注意以下几点：

   1. 一是坚持观察的客观性，力戒主观主义，避免“先入为主”的错误。观察必须实事求是，不能掺杂观察者的主观成分。
   2. 二是坚持观察的全面性，克服片面性。
   3. 三是尽可能地利用科学仪器，以便克服感觉器官的局限性，从而保证观察的可靠性。

2. 实验

   实验是人们根据研究的目的，在人工控制的条件下，进行观察和研究的方法。

   实验方法在自然科学的研究中起着重要作用。通过实验得到的经验材料比单纯观察所得到的材料更为精确可靠。

   实验具有以下几个特点：

   1. 具有简化和纯粹化的特点。
   2. 具有强化条件的特点。
   3. 具有模拟、重复、再现自然现象的特点。

   实验虽然是更为精确的观察方法，但并不是任何现象都可以进行实验。因此，观察和实验在实际应用中常常是密切结合、相互补充的。

3. 调查

   调查是用各种方法、手段，系统地、直接地收集和分析有关资料，并得出结论和说明问题的过程。调查由准备、实施和总结三阶段构成。

   1. 准备阶段

      包括选题、探索、提出研究假设和制定调查计划四个环节。

      选题是调查的首要环节，具有战略性意义。选题必须面对现实，既要有创造性，又要切实可行，复合实际情况。题目选定后，就需要对调查问题的已有情况和知识进行初步的探索，包括查阅文献资料、向有关人员咨询等。提出研究假设，就是在探索的基础上，对问题作出推测性的判断和解释。制定调查计划，包括四步工作：

      1. 说明调查的题目和解释概念，即说明调查什么，为什么调查，有什么意义和价值，对题目和研究假设所涉及的概念作出定义和明确解释。
      2. 确定调查指标。
      3. 选择调查方法。
      4. 组织调查力量，筹集调查经费。

   2. 实施阶段

      又称实地调查，目的是收集资料。这包括三个方法：

      1. 查阅、登录文献、档案资料。
      2. 访问。可采用访问法，问卷法等，使用访问提纲、调查表或问卷，询问被访者。
      3. 观察。亲自深入调查现场，用感官观察和体验研究对象，记录资料。

   3. 总结阶段

      运用科学方法分析资料，验证假设，提出新理论和建设性意见，撰写调查报告。这包括三步工作。

      1. 处理数字资料，进行统计分析。
      2. 对子良进行数量描述和推论，在统计分析等基础上进行理论分析，揭示事物发展变化的原因和发展趋势。
      3. 撰写调查报告。做到题目与内容贴切、层次清楚、数据精确、中心思想突出，有新观点、新见解，提出建设性意见。

      在进行调查时，需注意：

      1. 有正确的立场、观点和方法。
      2. 从实际出发、实事求是，避免“先入为主”。
      3. 深入调查对象，找到问题的症结，得出正确的结论。

整理经验材料的方法

在观察、实验和调查中获得的材料，需要运用比较、归类、分析和综合以及抽象与概括等整理经验材料的方法，进行加工整理，才能形成正确的结论。

1. 比较

   比较是确定对象共同点和差异点的方法。

   在进行比较时必须注意以下两点：

   1. 要在同一关系下进行比较。
   2. 要在事物的实质方面进行比较。

2. 归类

   归类是根据对象的共同点和差异点，把对象按类区分开来的方法。通过归类，可以使杂乱无章的现象条理化，使大量的事实材料系统化。归类是在比较的基础上进行的。通过比较，找出事物间的相同点和差异点，然后再把具有相同点的事实材料汇成同一类，把具有差异点的事实材料汇成不同的类。

   归类与概念的划分是有区别的：

   1. 思维进程的方向不同。概念的划分，是从较大的类，过渡到较小的类，由属划分出种。归类则相反，它是由个体开始，上升到类，再上升到一般性更大的类。
   2. 作用不同。概念的划分，是为了明确概念，更好地使用概念。归类则是把占有的材料系统化的方法。通过归类，可以在个别中找到一般，把零散的知识综合成系统的知识。

3. 分析与综合

   分析是在思想中把对象分解为各个部分、方面，分别加以考察的方法。

   对事物的认识，最初往往是模糊、笼统和表面的印象，要想深入了解事物，必须对其各方面加以分析。分析是把认识从具体上升到抽象，从个别上升到一半，从现象上升到本质。分析把复杂问题化为简单问题，把大而难的问题化为小而易的问题。分析由浅入深，由近及远，先易后难。通过分析，人们能够认识事物的各个部分、方面，但是要了解事物的全貌、整体，就必须在分析的基础上进行综合。

   综合是在思想中把分析所得的关于对象的各个部分、方面的认识，结合为一个整体加以考察的方法。

   分析和综合是两种不同的方法，它们在认识的方向上是相反的。一般是先分析后综合，有了关于事物各个部分、方面的认识，才能形成有关该事物整体的认识。但是，分析与综合优势互相联系的。分析是综合的居处，没有分析就没有综合。另一方面，分析也依赖于综合，没有一定的综合为指导，就无从对客观对象作深入分析。没有综合的分析，是片面的分析。没有分析的综合，是无根据的综合。结论都是不可靠的。

4. 抽象与概括

   抽象是在思维中撇开对象的非本质属性，抽取对象本质属性的方法。

   通过分析，人们在思想中把对象分成各个方面、属性，对每一方面、属性单独加以考察。但对象的属性、方面是无限多的，要把所有属性、方面都加以研究是不可能的，也是不必要的。重要的不是研究事物对象的所有属性，而是研究有实践意义的、属于本质方面的属性，这就需要使用抽象的方法。

   从表面上看，抽象似乎使我们远离了对象，但实际上却使认识更加深入事物的本质。

   概括是在思维中把对象本质的、规律性的认识，推广到所有同类的其他事物上去的方法。

   抽象和概括是紧密联系、不可分割的。在进行科学抽象时，已经把抽象出来的共同本质推广到对象的整体，抽象的同时也在进行着概括。

第三节 归纳推理（一）

第四节 求因果五法

第五节 求概率的方法

第六节 归纳推理（二）

第九章 证明与反驳

第一节 证明的概述

第二节 证明的种类

第三节 证明的规则

第四节 反驳

第五节 非形式论证

第六节 形式化方法

第十章 谬误

第一节 心理相关型谬误

第二节 语言歧义型谬误

第三节 论据不足的谬误